Tangencias

Tangencias. Concepto y tipos de problemas.

El término viene del Latín; TANGERE = TOCAR. Se emplea en geometría para designar líneas, curvas y superficies que se tocan en uno o varios puntos sin llegar a cortarse.

Tres son las posiciones relativas que pueden adoptar una recta y una circunferencia:

  1. Recta exterior a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de esta.
  2. Recta secante a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que el radio de esta.
  3. Recta tangente a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es igual que el radio de esta.

Al ser la distancia de un punto a una recta la perpendicular trazada por este punto a la recta, el radio trazado desde el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente, siendo el pie de la perpendicular el punto de tangencia entre ambos elementos.

Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos circunferencias son:

  1. Exteriores: No tienen ningún punto en común, la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
  2. Concéntricas: No tienen ningún punto en común salvo que sus radios sean idénticos, tienen el mismo centro.
  3. Secantes: Tienen dos puntos en común, la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
  4. Tangentes: Tienen un punto común de tangencia, alineado con los centros de las dos circunferencias.

Problemas de tangencias.

1º Resolución de tangencias básicas

A. Rectas tangentes a circunferencias:

  • 1.a. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella.
  • 1.b. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella cuando no se conoce el centro de la circunferencia.
  • 2. Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
  • 3. Rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una dirección dada.
  • 4. Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio.
  • 5. Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio.

2º Resolución de tangentes mediante Lugares geométricos

  • 6. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos rectas que se cortan.
  • 7. Circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia y recta dadas.
  • 8. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos circunferencias secantes entre sí.
  • 9. Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos.
  • 10. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas.
  • 11. Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí.
  • 12. Circunferencias tangentes a dos rectas convergentes y entre sí.
  • 13. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio.
  • 14. Trazar un número -n- de circunferencias iguales, tangentes entre sí y a otra dada.

3º Resolución de tangentes mediante Centro radical

  • 15. Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados exteriores a la recta.
  • 16. Circunferencias tangentes a una recta en un punto de ella y pasando por un punto exterior.
  • 17. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto comprendido entre ambas.
  • 18. Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan, conociendo el punto de tangencia t común a ambas circunferencias en una de las rectas.
  • 19. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia comprendida entre las mismas.
  • 20. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia tangente a una de ellas.
  • 21. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos exteriores.
  • 22. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno exterior y otro en la circunferencia dada.
  • 23. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno interior y otro en la circunferencia dada.
  • 24. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos interiores.

4º Resolución de tangentes mediante inversión

  • 25. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, pasando por un punto exterior a las mismas.
  • 26. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta.
  • 27. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia.
  • 28. Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta dadas.

5º Resolución de tangentes mediante homotecia e inversión

F. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas por puntos exteriores dados.

  • 29. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas.
  • 30. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias.
  • 31. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas.

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