Dodecaedro.

Dodecaedro. Representación, desarrollo y secciones planas.

Dodecaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.

Las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares siendo los lados de estos, aristas del cuerpo. En la figura 1, representaremos un dodecaedro apoyado por una de sus caras en el plano horizontal de proyección.

Las caras del dodecaedro son paralelas dos a dos (las opuestas), estando sus centros sobre una recta perpendicular a ambas y estando giradas una respecto la otra 180º siendo eje de giro la recta mencionada. En proyección horizontal, el contorno aparente de sus aristas representa un decágono regular, para determinar el radio de la circunferencia circunscrita de este decágono procederemos del siguiente modo:

Dibujadas en proyección horizontal la cara A, B, C, D, E contenida en el plano horizontal de proyección y su opuesta P, V, Q, S, R, dibujamos sobre el plano horizontal de proyección dos pentágonos regulares auxiliares de lados A-E y E-D contiguos y de vértices a, e, F1, O1, Ñ1 y e, d, Ñ2, N1, M1 respectivamente.

Dodecaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.

Dodecaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.

Desde los vértices Ñ1 y Ñ2 trazamos rectas perpendiculares Ñ1-w y Ñ2-x a los lados a-e y e-d respectivamente, obteniendo en su intersección el punto ñ. Con el centro Z de la circunferencia circunscrita de las bases pentagonales contenidas o paralelas al plano horizontal de proyección y radio Z-ñ, trazamos la circunferencia circunscrita del decágono, contorno aparente en proyección horizontal.

Para determinar los vértices del dodecaedro sobre esta circunferencia circunscrita, uniremos los vértices diametralmente opuestos de las referidas bases opuestas y prolongamos hasta cortar a dicha circunferencia en o, f, g, h, i, j, k, m, n y ñ, proyecciones horizontales de los vértices restantes del cuerpo [1].

Para determinar la proyección vertical de los vértices del dodecaedro podemos observar, en proyección horizontal, que estos están situados en cuatro alturas diferentes y en grupos de cinco vértices. La primera altura es la correspondiente a los puntos A, B, C, D y E que por estar contenidos en el plano horizontal de proyección tienen cota nula. La segunda altura (h1) es la correspondiente a los vértices Ñ, M, F, H y J. La segunda altura h1 es de magnitud igual a la del cateto mayor de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la verdadera magnitud de la arista del dodecaedro y de cateto menor igual a la proyección horizontal de una cualquiera de las aristas del cuerpo que presenten menor magnitud en esta proyección. (En el ejemplo de la figura se ha tomado para realizar esta construcción geométrica, la proyección horizontal de la arista C-J). La tercera altura (h1+h2) corresponde a los vértices O, N, G, K y J. La distancia h2 es igual a la magnitud del cateto menor de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la verdadera magnitud de la arista del dodecaedro y de cateto mayor igual a la proyección horizontal de mayor magnitud de cualquiera de las aristas del dodecaedro, excluyendo las aristas horizontales (en el ejemplo se ha utilizado para la construcción la arista I-J)[2]La cuarta altura (h1+h2+h1) corresponde a los vértices de la cara horizontal P, V, Q, S y R.

Determinadas las proyecciones diédricas de los vértices del octaedro se unen ordenadamente para dibujar sus aristas. Determinaremos posteriormente cuales de ellas son vistas y ocultas.

Desarrollo.

Ubicaremos en verdadera magnitud las diez caras pentagonales del dodecaedro con el mayor número de aristas comunes tal y como se aprecia en la figura 2.

Desarrollo del dodecaedro.

Desarrollo del dodecaedro.

Sección producida por un plano oblicuo P.

Para calcular esta sección podemos proceder según el método general utilizado, tomando para ello planos auxiliares que contengan a las aristas o caras del cuerpo, resolviendo sus intersecciones con el plano secante P y determinando las zonas comunes entre estas intersecciones y las correspondientes caras o aristas tomadas que formaran parte del polígono sección.

Resulta más conveniente sin embargo, debido al gran número de caras y aristas que presenta el cuerpo y puesto que no podemos simplificar mediante homología ni afinidad por no disponer de centro de homología o dirección de afinidad respectivamente, realizar un cambio de plano de proyección para convertir el plano secante dado en proyectante, de forma que podamos apreciar la sección directamente en las nuevas proyecciones. Así se ha procedido en el ejercicio de la figura 3, mediante un cambio de plano vertical hemos convertido el plano secante P en proyectante vertical. La verdadera magnitud de esta sección se ha calculado abatiendo el plano proyectante sobre el plano horizontal de proyección.

Sección producida por un plano oblicuo, mediante cambio de plano.

Sección producida por un plano oblicuo, mediante cambio de plano.



[1] Se puede observar que los pentágonos auxiliares trazados no son sino las caras O, F, Ñ, A, E y E, D, Ñ, M, N abatidas en el plano horizontal de proyección tomando como charnelas los lados o aristas A-E y E-D respectivamente.

[2] Se observa que, la magnitud h1 es idéntica a la proyección horizontal de las aristas que presentan mayor magnitud en dicha proyección, excluyendo las aristas paralelas al plano horizontal de proyección, y que la altura h2 mide igual que las proyecciones horizontales de las aristas del cuerpo que presentan menor magnitud por lo que, podemos simplificar el trazado.

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