Icosaedro.

Icosaedro. Representación, desarrollo y secciones planas.

Como sabemos un icosaedro está formado por veinte caras iguales que son triángulos equiláteros.

Icosaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyección.

En esta posición se aprecian, en proyección horizontal dos pentágonos regulares (c, b, d, f, e y j, k, g, h, i), donde la magnitud de sus lados se corresponde con la verdadera magnitud de las aristas del icosaedro pues son horizontales. Estos pentágonos son concéntricos y están girados 180º uno respecto del otro siendo el eje de giro el segmento que une sus centros, además estos pentágonos son bases de dos pirámides de lados triangulares y vértices A y M respectivamente. Uniendo los mencionados vértices alternativamente, obtenemos un decágono que no es sino el contorno aparente del icosaedro en proyección horizontal.

Son cuatro las alturas a determinar para poder dibujar la proyección vertical del cuerpo. La primera, de cota nula, corresponde al vértice A, extremo inferior de la diagonal normal al plano horizontal de proyección. La segunda altura, h1, corresponde a los vértices del pentágono horizontal c, b, d, f, e. Su verdadera magnitud es igual a la magnitud de las aristas del contorno aparente en proyección horizontal (por ejemplo distancia e-k). La tercera altura, h2+h1, corresponde a los vértices del segundo pentágono horizontal j, k, g, h, i. La altura h2 es igual a la magnitud del cateto mayor de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la verdadera magnitud de la arista del cuerpo y de cateto menor igual a h1Se corresponde además h2 en magnitud con la magnitud existente en proyección horizontal entre cualquiera de los vértices de los mencionados pentágonos y los vértices A o M, según corresponda, del icosaedro (por ejemplo la distancia k-m). La cuarta altura corresponde al vértice M del cuerpo y se obtiene sumando h1+h2+h1 como se puede comprobar en la ilustración de la figura 1.

Determinadas las proyecciones diédricas de los vértices, dibujamos las aristas del cuerpo atendiendo a sus partes vistas y ocultas.

Icosaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyección y con una de sus caras coincidente en con plano horizontal.

Icosaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyección y con una de sus caras coincidente en con plano horizontal.

Icosaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.

El Icosaedro, como el Dodecaedro, también presenta sus caras opuestas paralelas dos a dos y giradas 180º respecto del eje que une sus centros.

Si apoyamos por una cara (A, B, C) el icosaedro en el plano horizontal de proyección, ésta y su opuesta (J, K, M) presentarán sus lados (o aristas del cuerpo) en verdadera magnitud.

En proyección horizontal, el contorno aparente de las aristas del icosaedro es un hexágono regular concéntrico respecto de la cara ABC contenida en el plano horizontal de proyección, para determinar sus vértices tenemos que calcular el radio de la circunferencia circunscrita a dicho hexágono.

Para ello construimos, sobre el plano horizontal de proyección, un pentágono regular (c, b, Eo, Ko, Go) cuyo lado sea uno de los lados de la cara del icosaedro contenida en dicho plano, (en el ejemplo de la figura 2 se ha utilizado el lado c-b), desde el vértice Ho trazamos una recta perpendicular a la prolongación del lado c-b hasta cortar en el punto -h- a la prolongación de la apotema del triángulo equilátero ABC, que pasa por el vértice B.

Con centro en el centro O del triángulo ABC y radio O-h trazamos la circunferencia concéntrica buscada. Para determinar los vértices e, d, h, g, i y f del hexágono regular unimos los vértices diametralmente opuestos de los triángulos equiláteros horizontales hasta cortar en los puntos buscados a la circunferencia trazada. Uniendo ordenadamente las proyecciones horizontales de los vértices del icosaedro obtenemos su proyección horizontal, para ello tendremos en cuenta que en cada vértice concurren cinco aristas.

Las alturas de los vértices son de cota nula para los que están contenidos en el plano horizontal de proyección; h1+h2 para los de su cara opuesta; h1 para los más cercanos al plano horizontal de proyección (d´, e´y f’) y h2 para los más cercanos a la cara horizontal.

Las distancias h1 y h2 son iguales a los catetos de dos triángulos rectángulos donde las hipotenusas miden lo que mide la arista del icosaedro en verdadera magnitud y los catetos contiguos miden lo que las proyecciones horizontales de las aristas menos escorzadas y más escorzadas respectivamente, si no consideramos las que se muestran paralelas o contenidas en el plano horizontal de proyección (en el ejemplo a-f para h1 y m-f para h2).

Completamos el trazado dibujando las aristas del cuerpo en proyección vertical y delimitando las partes vistas y ocultas del mismo.

Desarrollo.

Tenemos que dibujar las veinte caras triangulares del icosaedro con el mayor número posible de aristas comunes tal y como se aprecia en la figura 3.

Desarrollo del icosaedro.

Desarrollo del icosaedro.

Sección del Icosaedro.

Para resolver las secciones generadas en el icosaedro por planos oblicuos se procederá de igual forma que en el caso del dodecaedro, mediante cambios de plano.

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