Métodos generales para el cálculo de intersecciones de superficies.

Se denomina intersección al punto, líneas o volúmenes que tienen en común rectas, planos o superficies y cuerpos que se cortan. Al cortarse entre sí dos superficies se genera una línea común a ambas, su determinación se lleva a cabo empleando planos o esferas auxiliares que generen secciones de sencillo trazado en las dos superficies dadas siendo las partes comunes de estas secciones las que definirán la línea de intersección buscada.

Intersección de superficies

Intersección de superficies

En base al tipo de superficies que interceptan y a sus posiciones relativas se pueden sistematizar diversos métodos para seleccionar en cada caso los planos o superficies secantes más adecuadas.

En la figura 1 se ha resuelto en perspectiva libre un punto J perteneciente a la línea de intersección de las dos superficies cilíndricas tomadas para el ejemplo. Para ello se ha trazado un plano auxiliar Q paralelo a las generatrices de los cuerpos que han generado secciones sencillas en ellos (las rectas R y S forman parte de estas secciones). El punto J es intersección de ambas secciones y por tanto punto de la intersección buscada.

Métodos generales para el cálculo de intersecciones entre superficies.

Los métodos que ha continuación expondremos son válidos para calcular intersecciones entre superficies radiadas en general.

Intersección de cilindros rectos con sus generatrices verticales o frontales.

Intersección de cilindros rectos con sus generatrices verticales o frontales.

A. Cilindros (o prismas) rectos con sus generatrices (o aristas) verticales o frontales.

Dados dos cilindros rectos y de revolución que se cortan entre sí y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección. La intersección entre ambos es su zona común y se calcula utilizando como plano auxiliar el propio plano horizontal de proyección que genera de sección en los cuerpos sus propias bases inferiores. Estas tienen en común los puntos A y B según se aprecia en proyección horizontal.

Las generatrices del cuerpo de menor altura que pasen por estos puntos determinarán junto con las zonas comunes de las base la proyección vertical de la intersección buscada. Figura 2.

B. Cilindros (o prismas) rectos, uno con sus generatrices (o aristas) verticales o de punta y el otro con sus generatrices (o aristas) paralelas a la línea de tierra.

Dados dos cilindros rectos, uno con su eje paralelo a la línea de tierra y el otro de eje vertical, calcularemos la intersección entre ambos auxiliándonos de planos horizontales (o frontales). Estos generan secciones de sencillo trazado (rectángulos en el cilindro paralelo a la línea de tierra y círculos en el cilindro de eje vertical), los puntos comunes de las secciones generadas en ambos cilindros por un mismo plano secante son puntos de la intersección buscada.

En la figura 3 se han trazado los planos horizontales Q y O que, por ser tangentes a uno de los cilindros generan en este rectas y no polígonos de sección. El plano P contiene al eje del cilindro y su sección rectangular es en proyección horizontal coincidente con el contorno aparente del cilindro correspondiente también en proyección horizontal.

Además se han tomado los planos T y K para definir mejor la intersección. Para dibujar las secciones que estos producen en el cilindro paralelo a la línea de tierra se ha recurrido a una proyección de perfil.

Las secciones generadas por todos estos planos en el cilindro vertical son circunferencias y coinciden todas ellas en proyección horizontal con la proyección horizontal de dicho cilindro.

Para determinar un punto de la intersección, por ejemplo el punto A, hemos trazado el plano auxiliar P y la proyección horizontal de las secciones que este genera (coincidentes en este caso con las proyecciones horizontales de los cilindros dados). La proyección horizontal de A es el corte de ambas secciones. Su proyección vertical debe estar sobre el plano P auxiliar tomado.

La intersección genera dos curvas cerradas, una de entrada y otra de salida pues uno de los cilindros penetra en el otro.

Intersección de cilindros rectos, uno con sus generatrices verticales o de punta y el otro con sus generatrices paralelas a la línea de tierra.

Intersección de cilindros rectos, uno con sus generatrices verticales o de punta y el otro con sus generatrices paralelas a la línea de tierra.

C. Superficies cilíndricas y/o cónicas (prismáticas y/o piramidales) rectas u oblicuas sin ninguna posición predeterminada entre ellas ni con relación a los planos de proyección.

Utilizaremos en estos casos el método general descrito dibujando planos auxiliares que generen secciones de sencillo trazado en ambas superficies, es decir, planos paralelos a las generatrices de los cilindros o que pasen por los vértices de los conos, en ambos casos las secciones resultantes serán generatrices de dichas superficies.

Como veremos más adelante, según sean los tipos de superficies que intercedan así serán los métodos que utilizaremos para calcular los planos secantes más adecuados.

Obtenido un plano secante adecuado al tipo de intersección que se esté trabajando, se trazan múltiples planos paralelos a éste de modo que obtengamos múltiples secciones en ambos cuerpos. Los puntos comunes entre las secciones generadas en ambas superficies por alguno de los planos secantes trazados son puntos de la línea de intersección de dichas superficies. A mayor número de planos secantes trazados mayor número de puntos de la línea intersección.

Planos límites y tipos de intersecciones

Planos límites

Planos límites

Los planos auxiliares que nos resultan útiles son, lógicamente, los que generan sección, o tienen contacto al menos (tangentes), en las dos superficies simultáneamente. Denominaremos planos límites a los últimos planos auxiliares que, en un sentido o en otro, son tangentes o secantes a ambos cuerpos simultáneamente.

En la figura 14 se aprecia en perspectiva libre la intersección entre dos cilindros. Los planos P y Q son planos límites pues a partir de ellos los planos auxiliares que tracemos paralelos a las generatrices de los cilindros no estarán en contacto con las dos superficies simultáneamente.

Obsérvese que es en la relación existente entre las bases de los cuerpos y las trazas de los planos auxiliares donde se aprecia si los planos auxiliares son secantes, tangentes o exteriores a los cuerpos y por tanto donde podremos determinar la posición de los planos límites como más adelante veremos.

Según el tipo de sección que cada uno de los dos planos límites genere en la superficie así será el tipo de intersección entre ambos cuerpos o viceversa, la posición de los planos límites viene determinada por el tipo de intersección existente entre los cuerpos.

En general se pueden diferenciar cuatro tipos de intersecciones entre superficies en base a la incidencia mutua de éstas. Estos cuatro tipos de intersecciones se podrán determinar a partir de la relación existente entre los planos límites y los cuerpos, relación que, como hemos dicho, quedará reflejada entre las bases de las superficies y las trazas horizontales y/o verticales de los planos límites.

Los tipos de intersecciones mencionadas son:

1. Penetración

Penetración

Penetración

Se produce penetración cuando uno de los cuerpos atraviesa al otro dando lugar a dos brechas opuestas, es decir, a dos líneas de intersección independientes y cerradas, una de entrada y otra de salida. Figura 5

La relación existente entre las trazas de los planos límites y las bases de los cuerpos es que dichos planos se muestran tangentes a una de las bases (T1 y T2) y secantes a la otra base (A, B, C y D). En la figura 6 A se aprecia en perspectiva libre una penetración entre cilindro y prisma, siendo el cilindro el que atraviesa al prisma.

En las figuras 6 B y C se han dibujado las hipotéticas situaciones de los planos límites y las bases de dos cilindros primero y de un cilindro y un cono o dos conos entre sí después. La diferencia entre estas dos últimas ilustraciones es que, en el primer caso, los planos límites son paralelos siendo convergentes en el segundo.

Penetración

Penetración

2. Tangencia simple o punto doble.

Tangencia simple o punto doble.

Tangencia simple o punto doble.

La penetración no es en este caso total pues ambos cuerpos muestran un punto T de tangencia (tangencia simple) común (o punto doble). Las dos brechas se encuentran pues unidas por este punto común. En la figura 7 se aprecia el tipo de línea resultante de la intersección.

Los planos límites se encuentran en este caso tangentes a la base de una de las superficies y tangente uno y secante el otro a la base de la otra superficie como se aprecia en la figura 8 B para dos cilindros y en la 8 C para un cilindro y un cono o para dos conos.

En la figura 8 A se advierte en perspectiva libre una intersección de este tipo entre un cilindro y un prisma.

Tangencia simple o punto doble.

Tangencia simple o punto doble.

Penetración máxima o tangencia doble.

Penetración máxima o tangencia doble.

3. Penetración máxima o tangencia doble.

Ambos cuerpos penetran siendo estos tangentes entre sí en dos puntos (tangencia doble). La línea de intersección resultante se corta pues en dos puntos T y T’, los dos puntos de tangencia entre los cuerpos tal y como se aprecia en la figura 9.

Los planos límites muestran sus trazas tangentes a las bases de ambos cuerpos.

En la figura 10 A se han dibujado en perspectiva libre dos cilindros siendo su intersección de este tipo. En ella y en la figura 10 B se aprecia la situación de las trazas de los planos límites respecto de las bases de los cilindros. En la figura 10 C se advierte la posible ubicación de los planos límites en una intersección de este tipo para un cilindro y un cono o dos conos.

Penetración máxima o tangencia doble.

Penetración máxima o tangencia doble.

Mordedura.

Mordedura.

4. Mordedura.

Uno de los cuerpos penetra parcialmente en el otro obteniéndose una sola línea cerrada. Figura 11.

Los planos límites muestran sus trazas respecto de las bases de los cuerpos tangente al primero y secante al segundo en el primer plano límite y secante al primer cuerpo y tangente al segundo el segundo plano límite tal y como se aprecia en las figuras 12 B y C.

En la figura 12 A se aprecia en perspectiva libre una intersección de este tipo entre un cilindro y un prisma.

Analizadas las diversas líneas de intersección resultantes de las intersecciones de superficies de revolución, pasaremos a resolver algunos ejercicios prácticos.

En relación al tipo de superficies de revolución que interceden, cilindro-cilindro, cono-cilindro o cono-cono, el modo de calcular en cada caso los planos auxiliares secantes que generen secciones de rápido trazado serán diferentes.

Mordedura.

Mordedura.

C1. Intersección entre superficies cilíndricas (o prismáticas) cualesquiera.

Intersección de dos prismas oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Tomaremos como planos secantes auxiliares planos que generen secciones poligonales de lados paralelos a las aristas de ambos prismas. Para ello trazaremos por un punto A arbitrario, las rectas R y S paralelas a las aristas de ambos cuerpos. Estas rectas, por cortarse en un punto A determinan un plano, el plano Q del que dibujamos su traza horizontal. El mencionado plano es paralelo a las aristas de los dos cuerpos pues contiene a dos rectas paralelas a estas (R y S). Los planos que, paralelos al recientemente obtenido Q, corten a lo cuerpos dados, generarán en estos secciones poligonales de lados paralelos a las aristas de dichos cuerpos.

Conocido el tipo de sección resultante (paralela a las aristas de los cuerpos) y sabiendo que si la traza horizontal de un plano corta a la base de un cuerpo apoyado en el plano horizontal de proyección este corta al cuerpo, bastará con trazar planos paralelos a Q que corten a las bases de los cuerpos para obtener así las secciones buscadas (trazando paralelas a las aristas por los puntos de corte de las trazas horizontales de los planos auxiliares con las bases de los cuerpos). Los puntos comunes de las secciones generadas por un mismo plano secante auxiliar en ambos cuerpos serán puntos de la intersección buscada entre ambos cuerpos.

Para simplificar el proceso de cálculo de la intersección no trazaremos los planos paralelos a Q de forma arbitraria sino que determinaremos previamente los planos límites L1 y L2, deduciendo posteriormente de su posición respecto de las bases de los prismas el tipo de intersección resultante.

Dibujamos pues las trazas horizontales de los planos L1 y L2 (últimos planos secantes o tangentes a ambas bases simultáneamente en un sentido o en otro, L1 tangente en el vértice b del primer cuerpo y L2 tangente en el vértice g del segundo cuerpo) y observamos que la intersección entre ambos cuerpos será del tipo mordedura.

Para determinar puntos de esta intersección comenzamos por buscar los puntos comunes de las secciones generadas por los propios planos límites en los cuerpos. Así tenemos que el plano límite L1 genera en el cuerpo de base A, B y C la sección o arista de contacto que pasa por el punto B de la base y en el cuerpo de base E, F, D y G las rectas T y H (lados del polígono sección paralelos a las aristas de los cuerpos). Los puntos comunes de las secciones mencionadas son Y y Ñ. El plano límite L2 nos proporciona por su parte y siguiendo el mismo método los puntos X y W.

Utilizaremos un tercer plano auxiliar P paralelo a Q y que contenga al vértice A del primer cuerpo pues, por estar comprendido entre los planos límites, la arista que pasa por A (que es a la vez sección o arista de contacto generada por P), contendrá a otro par de puntos de la intersección, los puntos V y Z.

La intersección ya está definida en proyección horizontal, bastará con unir ordenadamente los puntos obtenidos teniendo en cuenta que la intersección es del tipo mordedura y que por tanto se trata de una sola línea de intersección cerrada y que, por su forma, hace las veces de brecha de entrada y de salida.

El orden de unión de los puntos es Z, Y, W, Ñ, V y X. Determinada la proyección horizontal de la intersección, se calculan las proyecciones verticales de los puntos (sobre sus correspondientes aristas o líneas de sección) y se unen ordenadamente.

La proyección vertical puede ayudarnos a comprender la forma de la línea de intersección. En cualquier caso y si con estas consideraciones no averiguamos en que orden han de unirse los puntos, podemos ayudarnos con más planos auxiliares trazados entre los límites obtenidos. Figura 13.

Intersección de dos prismas oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos prismas oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos cilindros oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Este ejercicio se resuelve de forma exactamente igual que el anterior, por un punto A arbitrario trazamos dos rectas R y S paralelas a las generatrices de ambos cilindros. Estas rectas determinan el plano Q paralelo a las generatrices de los cilindros. Trazamos los planos límites L1 y L2 quedando definida la mordedura como tipo de intersección. La única diferencia con el ejercicio anterior es que la intersección no es línea poligonal sino curva (no dibujada) y que los planos auxiliares secantes tomados entre los límites se disponen arbitrariamente y no por los vértices de los polígonos de las bases pues aquí son curvas. Figura 14

Los ejercicios anteriormente expuestos se resuelven de forma idéntica cuando el tipo de intersección no es mordedura.

Si los cilindros o prismas apoyasen en el plano vertical de proyección dibujaríamos la traza vertical del plano Q determinado por R y S en lugar de su traza horizontal, trazando paralelas a ella para determinar en proyección vertical y con relación a las bases, las trazas de los planos límites y de los secantes auxiliares en general.

Intersección de dos cilindros oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos cilindros oblicuos apoyados en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos prismas oblicuos, uno con su base apoyada en el plano horizontal de proyección y el otro con su base apoyada en el plano vertical de proyección.

Cuando los cuerpos se disponen de este modo, el plano Q, paralelo a sus generatrices y/o aristas se haya del modo habitual dibujando sin embargo en estos casos, las dos trazas del plano.

Para determinar los planos límites y los planos secantes auxiliares en general, trazaremos como de costumbre, planos paralelos al recientemente obtenido Q diferenciándose éste ejercicio de los anteriores en que ahora hemos de trazar paralelas a ambas trazas. Obtenemos de este modo los límites L1 y L2 y los auxiliares O y P.

Obsérvese que los límites son tangentes a una de las bases en una de las proyecciones y secantes a la otra base en la otra proyección.

Por la situación relativa de los planos límites la intersección será del tipo mordedura.

Para determinar un punto de la intersección entre ambos cuerpos procederemos como siempre. Así por ejemplo el punto X surge del corte de las secciones generadas por el plano límite L1 en ambos cuerpos (la sección generada por este plano en el cuerpo que apoya en el plano vertical es una de las aristas del cuerpo, siendo un polígono con dos de sus lados paralelos a las aristas en el otro).

Los puntos de intersección obtenidos se unen según el siguiente orden: Y, Z, D, X, B, E, V, C, Y. La intersección resultante responde efectivamente a una mordedura. Figura 15

Intersección de dos prismas oblicuos, uno con su base apoyada en el plano horizontal de proyección y el otro con su base apoyada en el plano vertical de proyección.

Intersección de dos prismas oblicuos, uno con su base apoyada en el plano horizontal de proyección y el otro con su base apoyada en el plano vertical de proyección.

C2. Intersección entre superficies cónicas (o piramidales) cualesquiera.

Utilizaremos en estos casos planos auxiliares que generen secciones concurrentes en los vértices de los cuerpos tanto si se trata de superficies prismáticas como si se trata de superficies cónicas, pués son estas las más rápidas y sencillas de trazar. De este modo los lados de los polígonos de sección contendrán siempre generatrices en los cilindros o aristas  en los prismas.

Los planos pasan por los vértices de los cuerpos son aquellos que contengan a la recta definida por estos y por tanto a sus trazas. Dibujamos pues la recta mencionada y calculamos sus trazas.

Intersección de dos prismas oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

Dibujada la recta determinada por sus vértices, calculamos su traza horizontal. Los planos cuya traza horizontal pase por la traza horizontal hr de la recta contendrán a la recta y cortarán por tanto a los cuerpos generando, como hemos dicho, secciones poligonales concurrentes en los vértices.

Dibujamos pasando por hr las trazas horizontales L1 y L2 de los planos límites y observamos en el ejercicio de la figura 16 que la intersección será del tipo penetración y por tanto obtendremos dos brechas, una de entrada y otra de salida, ambas polígonos cerrados. Ocurre que, en esta ocasión, por cortarse las bases de los cuerpos, la penetración quedará incompleta, truncada por el plano horizontal de proyección.

Dibujamos un tercer plano auxiliar P conteniendo al único vértice libre de la base del prisma penetrado, el de vértice W. Entre los planos límites es el único vértice existente.

Los planos límites no generan secciones que se corten entre sí dentro del límite de los cuerpos y por tanto no obtenemos, a partir de ellos, puntos de intersección entre los prismas. Auxiliándonos del plano P obtenemos el punto X. Los puntos Y y Z son los de intersección de las bases y por tanto puntos de la línea de intersección Y, X y Z buscada.

El plano horizontal de proyección funciona como auxiliar generando una sección horizontal en cada cuerpo que no son sino las bases. Los puntos comunes Z e Y de estas secciones son, lógicamente, puntos de la intersección buscada.

Intersección de dos prismas oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos prismas oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos conos oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

La situación de los conos es idéntica a la de las pirámides del ejercicio anterior y el proceso a seguir también. Para poder dibujar la curva tomamos los planos auxiliares P, Q, T, O, K y G entre los límites. A mayor número de planos auxiliares mayor definición de la curva.

Si las bases de los conos o prismas estuviesen apoyadas en el plano vertical de proyección, localizaríamos la traza vertical de la recta W-V (definida por los vértices de los cuerpos) pasando por ella las trazas verticales de los planos auxiliares. Si cada uno de los dos cuerpos tiene su base en un plano de proyección diferente, dibujaríamos las dos trazas de la recta y las dos trazas de los planos auxiliares, procederíamos en cualquier caso de forma igual a la expuesta anteriormente. Figura 17

Intersección de dos conos oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

Intersección de dos conos oblicuos con sus bases apoyadas en el plano horizontal de proyección.

C3. Intersección entre superficies cilíndricas y cónicas (o prismáticas y piramidales) cualesquiera.

Cuando en una intersección de este tipo se combinan superficies piramidales o cónicas con superficies cilíndricas o prismáticas, buscaremos planos auxiliares secantes que generen secciones poligonales concurrentes en los vértices en las superficies cónicas o piramidales y paralelas a las aristas o generatrices en las superficies prismáticas o cilíndricas respectivamente. Los planos que contengan a una recta R paralela a las aristas o generatrices de las primeras y que pase por el vértice de las segundas, generarán este tipo de secciones.

Intersección entre un prisma y una pirámide oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

Calculamos las proyecciones de la recta R y su traza horizontal hr pasando por ella los planos límites L1 y L2 y el auxiliar P entre estos comprendidos.

El tipo de intersección será penetración y así se verifica al unir los puntos Y, W y Ñ de la primera brecha y Z, X y N de la segunda. Figura 18.

Intersección entre un prisma y una pirámide oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

Intersección entre un prisma y una pirámide oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

Intersección entre un cilindro y un cono oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

Podemos observar que, por la disposición de los cuerpos (idéntica a la de los del ejercicio anterior) y la relación de sus bases con los planos límites, la intersección entre ambos (no dibujada) será del tipo penetración disponiendo por tanto de dos brechas que serán dos líneas curvas cerradas. Figura 19.

Si las bases de los cuerpos apoyasen en el plano vertical de proyección dibujaríamos las trazas verticales de los planos secantes conteniendo a la traza vertical de la recta R, dibujando ambas trazas si cada una de las bases estuviese en un plano de proyección distinto.

Intersección entre un cilindro y un cono oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

Intersección entre un cilindro y un cono oblicuos y apoyados por sus bases en el plano horizontal de proyección.

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