Métodos para el cálculo de intersecciones entre superficies de revolución.

Métodos para el cálculo de intersecciones entre superficies de revolución.

A. Superficies de revolución cuyos ejes son paralelos a alguno de los planos de proyección y que se cortan entre sí.

A1. Intersección entre conos.

Para resolver esta intersección, tomaremos como superficies auxiliares esferas de diferentes radios y centro O, punto de corte de los ejes de ambas superficies.

En la figura 1A podemos observar en proyección vertical como la esfera auxiliar trazada genera de sección en los conos dados dos circunferencias de diámetros X-Y en el de eje vertical y M-N en el de eje frontal. Estas circunferencias se proyectan horizontalmente según una circunferencia de centro O y diámetro X-Y en el primero y según un segmento perpendicular a la línea de tierra en el segundo, cortándose ambas proyecciones en los puntos e1 y e2, puntos de intersección buscados y en e’ en proyección vertical. (E’ es proyección vertical de e1 y e2 simultáneamente).

En la figura 1B se ha procedido de igual modo para calcular los puntos que han definido la curva de intersección trazada. Se han utilizado además, para el calculo de dicha intersección los puntos A, B, C y D de corte de las generatrices frontales de los conos que por pertenecer todas ellas a un mismo plano frontal definido por sus ejes, son puntos de intersección.

Intersección de conos cuyos ejes son paralelos al plano vertical de proyección y que se cortan entre sí.

Intersección de conos cuyos ejes son paralelos al plano vertical de proyección y que se cortan entre sí.

A2. Otras intersecciones que utilizan como superficie auxiliar la esfera.

Las intersecciones entre las superficies de las figuras 2 A, B, C y D se resuelven de igual forma que las del ejercicio anterior. En todos los casos los ejes de las superficies son frontales y se cortan entre sí.

Otras intersecciones que utilizan como superficie auxiliar la esfera.

Otras intersecciones que utilizan como superficie auxiliar la esfera.

B. Intersecciones entre superficies de revolución y la esfera.

Utilizaremos para resolver estas secciones planos auxiliares paralelos a los planos de proyección, horizontales si el eje del cuerpo que intercepta a la esfera es vertical y frontales si éste es un eje de punta.

B1. Intersección entre la esfera y el cilindro recto de eje vertical o de punta.

En la figura 3A se puede observar que el plano auxiliar H horizontal tomado genera secciones circulares en ambos cuerpos. La proyección horizontal de la sección generada en la esfera es una circunferencia de centro o, proyección horizontal del centro de la esfera, siendo la proyección horizontal de la sección circular generada por el plano H en el cilindro una circunferencia coincidente con la proyección horizontal de sus bases. Ambas se cortan en los puntos A y B, puntos de intersección entre ambos cuerpos.

De igual modo se ha procedido en la figura 3B para resolver la línea de intersección trazada, para ello se han trazado los planos auxiliares H, P, Q, F, O,, G y W. La proyección horizontal de ésta línea coincide con la proyección horizontal del contorno aparente del cilindro.

Intersección entre la esfera y el cilindro recto de eje vertical o de punta

Intersección entre la esfera y el cilindro recto de eje vertical o de punta

B2. Intersección entre la esfera y el cono recto de eje vertical o de punta.

Este ejercicio se resuelve de forma idéntica al anterior teniendo en cuenta que las secciones generadas en el cono por los planos auxiliares trazados no presentan sus proyecciones horizontales coincidentes con la proyección horizontal de la base.

En la figura 4A se obtienen los puntos A y B como consecuencia de las intersecciones de las dos circunferencia sección generadas en ambos cuerpos por el plano auxiliar G.

En la figura 4B se resuelve la línea de intersección buscada uniendo ordenadamente los puntos  de intersección obtenidos con el auxilio de los planos horizontales Q, F, O, G y W.

Intersección entre la esfera y el cono recto de eje vertical o de punta.

Intersección entre la esfera y el cono recto de eje vertical o de punta.