Secciones. Prisma

Sección plana del prisma.

Sección oblicua de un prisma recto por un plano proyectante.

La sección producida por el plano P proyectante vertical en el prisma recto dado, es el triángulo de vértices HJG, puntos definidos por la intersección del plano P con las aristas del cuerpo. En este caso no hay intersección con las aristas de la base.

Por ser el plano secante proyectante vertical, su traza vertical contiene las proyecciones verticales de todos los puntos en él contenidos. Los puntos de intersección g’, h’ y j’ de las aristas laterales del cuerpo con el plano secante se aprecian por tanto directamente en proyecciones verticales sobre dicha traza estando las proyecciones horizontales de dichas intersecciones sobre las proyecciones horizontales de las aristas correspondientes (los vértices g h y j sobre las aristas fc, be y ad respectivamente). La proyección horizontal de la sección coincide con las proyecciones horizontales de las bases por tratarse de un prisma recto apoyado por una de sus bases en el plano horizontal de proyección.

Verdadera magnitud.

Determinar la verdadera magnitud de la sección producida por el plano P en el cuerpo consistirá en situar el triángulo HJG en uno de los planos de proyección mediante abatimiento del plano que contiene a dicha sección que no es sino el plano secante P. Abatiremos en el ejemplo de la figura 17 el plano P en el plano horizontal de proyección y con el los puntos H, J y G en H1, J1 y G1 obteniendo de este modo la verdadera magnitud del triángulo obtenido en la sección.

Sección recta de un prisma oblicuo por un plano proyectante.

La sección producida en el prisma de la figura 18 es recta pues el plano secante P es perpendicular a las aristas laterales del prisma como se puede comprobar. Por tratarse de un prisma de base triangular y no haber intersección entre el plano P y las aristas de las bases, la sección es un triángulo. Calculamos las proyecciones de sus vértices se calculan como en el ejercicio anterior. Para determinar la verdadera magnitud de la sección procedemos de forma idéntica que en el ejercicio anterior. Obsérvese que la sección en este ejemplo, por ser recta, es además el polígono generatriz de la superficie prismática.

Sección recta de un prisma recto y oblicuo por un plano proyectante.

Sección recta de un prisma recto y oblicuo por un plano proyectante.

Sección oblicua de un prisma recto.

Sección oblicua de un prisma recto.

Sección oblicua de un prisma recto.

Cuando el plano secante no es proyectante ni es un plano horizontal, frontal o de perfil (es decir no es un plano perpendicular a uno de los planos de proyección), la sección producida en el cuerpo dado no se aprecia directamente en la correspondiente traza como si ha sucedido en los dos ejercicios anteriores.

La sección producida por un plano oblicuo P en el prisma recto dado será en cualquier caso un polígono cerrado, siendo los vértices de este polígono los puntos de intersección de las aristas del cuerpo con el plano secante dado y sus lados las rectas de intersección entre las caras del poliedro y dicho plano. Estos lados se determinan generalmente uniendo ordenadamente los vértices una vez calculados.

Para determinar los vértices de la sección, puntos de intersección como hemos dicho entre las aristas del cuerpo y el plano secante, tendremos que auxiliarnos de planos que contengan a dichas aristas, calcular las rectas intersección de estos con el plano secante y obtener finalmente los puntos de corte, si los hay, de estas rectas intersección con las aristas del prisma (intersección recta-plano).

Para proceder ágilmente, se toman generalmente como planos auxiliares planos de sencillo trazado cuyas intersecciones con el plano secante dado se prevean también sencillas de calcular. Este es el caso de los tres planos auxiliares H horizontal, Q frontal e Y proyectante vertical que conteniendo a las aristas de la base superior, a la arista AD y a las aristas de la cara lateral FCEB respectivamente, han generado sobre ellas los puntos de intersección y por tanto vértices del polígono sección GJ, N y KJ. El punto J de intersección aparece dos veces pues la arista EF está contenida en los planos auxiliares H e Y simultáneamente.

El punto M de la sección es fruto de la intersección del plano secante con la arista CA siendo el plano auxiliar tomado el propio plano horizontal de proyección y la recta intersección resultante entre este y el plano P la propia traza horizontal de P. Esta traza no corta solo en M a la arista CA, también la corta en el punto K que ya conocíamos pues la arista CB que contiene a este último vértice estaba también contenida en el plano auxiliar Y proyectante. Tenemos que comprobar todas las aristas del cuerpo según los métodos descritos para determinar si son o no cortadas por el plano secante P. Obtenidos las proyecciones diédricas de los vértices del polígono sección resultante las unimos ordenadamente y obtenemos de este modo las proyecciones diédricas de la sección.

Verdadera magnitud.

Para determinar la verdadera magnitud del polígono NMKGJ de la sección, abatiremos el plano P que la contiene sobre uno de los planos de proyección y con él los vértices del polígono.

En el ejemplo de la figura 19 hemos abatido el plano P sobre el plano vertical de proyección utilizando afinidad. En esta afinidad el punto afín conocido ha sido el vértice K1 abatido por métodos habituales. Como en toda afinidad establecida entre las proyecciones diédricas de una superficie plana y su verdadera magnitud el eje de afinidad ha sido la charnela de abatimiento (P’) y la dirección de afinidad normal a la charnela. Los puntos x, v, w y z son puntos dobles de la transformación afín.

Sección oblicua de un prisma oblicuo. Mediante afinidad.

Calculamos el primer punto de la sección por el método descrito en el ejercicio anterior. Así pues, tomamos en el ejemplo de la figura 21 un plano auxiliar proyectante horizontal Q que contiene a la arista BE y obtenemos el punto de intersección G de esta arista con el plano secante dado P. El resto de los vértices del polígono resultante de la sección los podemos calcular mediante la afinidad existente entre la base perteneciente al plano horizontal y la propia sección.

En esta afinidad, el eje será la recta intersección (traza horizontal de P) entre los planos secante P y plano horizontal de proyección que son los dos que contienen a las dos superficies afines y la dirección de afinidad queda definida por las aristas laterales del prisma. Conocido un punto afín G, calculamos las proyecciones horizontales de los vértices H y J. Los puntos n y ñ son puntos dobles. Finalmente determinamos las proyecciones verticales de los vértices del polígono obtenido.

Sección oblicua de un prisma oblicuo. Mediante afinidad.

Sección oblicua de un prisma oblicuo. Mediante afinidad.

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