Sistema diédrico. Abatimientos

Sistema diédrico. Abatimientos

Habitualmente, las proyecciones en Sistema Diédrico Ortogonal de los planos, rectas y superficies representadas no muestran su forma real, las proyecciones sobre los planos de referencia generan deformaciones angulares y variaciones métricas cuando los elementos a representar están situados en planos oblicuos a los de proyección.

Para obtener la verdadera magnitud lineal y angular de un segmento, un ángulo o una superficie plana determinada colocaremos el plano que contiene a estos elementos o los elementos en sí, paralelos o contenidos en uno de los planos de proyección o viceversa, un plano de proyección paralelo a los elementos. De este modo las proyecciones se mostrarán en verdadera magnitud sobre el plano de proyección correspondiente pues, en proyecciones cilíndricas ortogonales, si las superficies a proyectar y el plano de proyección son paralelos o coincidentes no se producen deformaciones lineales ni angulares en la figura proyectada. Emplearemos en Sistema Diédrico Ortogonal para calcular la verdadera magnitud de una figura los siguientes métodos:

  • Abatimientos.
  • Cambios de Plano.
  • Giros.

Abatimientos

Abatir un plano P es hacerlo coincidir con otro Q, empleando como charnela (o bisagra) la recta intersección o traza entre ambos. Generalmente se abate un plano sobre alguno de los de proyección con objeto de apreciar en verdadera magnitud y forma los objetos contenidos en el plano abatido.

Podemos abatir un plano sobre el plano vertical de proyección empleando como charnela la traza vertical o bien sobre el plano horizontal de proyección, en cuyo caso emplearemos la traza horizontal del plano a abatir como charnela. A efectos de verdadera magnitud es indiferente sobre cuál de los dos planos de proyección se abata el plano.

Al utilizar como charnela una de las trazas del plano, solo experimenta movimiento la otra traza y los puntos o elementos contenidos en el plano, quedando en el mismo lugar la primera. A continuación veremos cómo se abaten diversos planos y algunos de los elementos contenidos en estos.

Abatimiento de un plano proyectante vertical.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.

Abatir un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección es como “pasar las páginas de un libro”. Si abatimos un plano proyectante vertical Q sobre el plano horizontal de proyección, su traza horizontal, normal a la línea de tierra, servirá de charnela y permanecerá por tanto en el mismo lugar. Su traza vertical girará en un sentido o en otro y con centro en n, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, hasta coincidir con esta, como se aprecia en la figura 1.

En proyecciones diédricas, trazaremos un arco de centro n y radio na’, siendo A un punto arbitrario del plano Q contenido en su traza vertical, hasta cortar en A1 a la línea de tierra. La nueva traza Q’ abatida, se denominará de igual modo pero con el subíndice 1 para distinguirla: Q’1.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.

La figura BCD contenida en el plano se mostrará en verdadera magnitud una vez abatido el plano que la contiene. Para obtener la nueva posición de los puntos B, C y D trazamos normales a la charnela Q desde sus proyecciones horizontales b, c y d hasta cortar a las normales correspondientes trazadas a la línea de tierra por donde los arcos de centro en n y radios nb’, nc’ y nd’ la corten obteniendo los puntos B1, C1 y D1 buscados. (Véase abatimiento de una figura plana situada en un plano en este mismo tema). Fig. 2

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.

Al utilizar como charnela la traza vertical del plano, esta permanecerá inmóvil en el abatimiento siendo la traza horizontal Q la que cambie de ubicación, pasando a estar ahora sobre el plano vertical en Q1. Tomando un punto A de la traza horizontal, procedemos de igual modo que en el ejercicio anterior y obtenemos A1 que determina la dirección de la traza Q1. Observemos que, y por ser el plano Q proyectante, el ángulo real que forman entre sí sus trazas es perpendicular. Tras el abatimiento, ya en verdadera magnitud, las trazas Q’ y Q1 deben mostrarse por tanto perpendiculares entre sí.

En proyecciones diédricas, para calcular la traza abatida Q1 del plano bastará con trazar una recta perpendicular a la traza vertical Q’ por el punto nn’. El punto A de la traza horizontal estará ubicado tras el abatimiento en A1. Fig. 3

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical de proyección.

La charnela Q’ permanece inmóvil siendo Q la que gira hasta coincidir con la línea de tierra en un sentido u otro. Un punto A situado en la traza Q del plano tendría su ubicación una vez abatido en A1 sobre la línea de tierra a un lado u otro de la charnela Q’. La traza abatida y la charnela han de mostrarse en todo caso normales entre sí. Fig. 4

Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical y horizontal de proyección.

Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano horizontal de proyección.

Se resuelve de idéntico modo que los ejercicios precedentes. La traza abatida y la charnela han de ser normales. Fig. 5

Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.

Abatiremos la traza vertical de un plano oblicuo Q sobre el plano horizontal de proyección. En realidad abatimos el plano en su totalidad pero es la traza vertical la que experimenta cambio gráficamente. La traza horizontal será la charnela del abatimiento permaneciendo por tanto invariable. Podemos trabajar de dos modos distintos:

Tomamos un punto A de la traza Q’ y lo abatimos sobre el plano horizontal en A1, uniéndolo con N, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, obtendremos la traza Q’1 abatida. Para abatir el punto A, trazamos por él una recta R de máxima pendiente del plano, esta recta corta a la traza horizontal del plano en el punto m.

Las proyecciones del punto a’ y a, forman junto a m, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa, el segmento a’m, es la recta de máxima pendiente del plano y debe de coincidir tras el abatimiento, por ser una recta del plano Q, con el plano horizontal de proyección. La recta de máxima pendiente es pues radio de un arco de circunferencia de centro m que tendremos que trazar hasta ubicarla sobre el plano horizontal de proyección y localizar así en su extremo la posición de A abatido.

Para poder trazar esta circunferencia representada en la figura 6 en visión espacial, en proyecciones diédricas, abatimos previamente el mencionado triángulo sobre el plano horizontal de proyección tomando como charnela su cateto am. Para ello trazamos una recta paralela a la traza horizontal de Q o normal al propio cateto am por a, llevando sobre ella y a partir de a, la magnitud del cateto aa’ que no es sino la cota del punto A conocida, obtenemos de este modo el punto a’0, vértice del triángulo abatido. Uniendo a’0 con m, invariable en este abatimiento previo, obtenemos la hipotenusa que no es sino la recta R abatida sobre plano horizontal de proyección y radio del arco que tenemos que trazar.

Situado el triángulo sobre el plano horizontal de proyección podemos trazar ya el arco de centro m y radio m-a’0 hasta cortar a la prolongación del cateto am en A1 punto buscado. Uniendo el punto n, vértice de las trazas del plano Q en la línea de tierra con A1, obtenemos la traza vertical del plano Q abatida sobre el plano horizontal de proyección en Q’1. Fig. 7.

En cualquier abatimiento, todos los puntos del plano abatido describen circunferencias situadas en planos normales al plano a abatir. Estas circunferencia tienen su centro en la charnela y radios que van desde el punto de intersección entre la circunferencia y la charnela a los respectivos puntos. Si los puntos están situados en una de las trazas (la contraria a la charnela escogida), los radios mencionados serán rectas de máxima pendiente o inclinación según abatamos sobre el plano horizontal o vertical de proyección respectivamente.

Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.

Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.

Simplificación del método.

Si observamos el ejercicio anterior veremos que las distancias nA1 y na’ son iguales. Esto es así pues el segmento NA está en verdadera magnitud por pertenecer a la traza vertical y una vez abatido en NA1 mide, lógicamente, lo mismo. Podemos por tanto abatir la traza vertical de Q sobre el plano horizontal de proyección de un modo más rápido haciendo centro en n’ y trazando un arco de radio n’a’ hasta cortar a la prolongación del segmento am en A1  que unido posteriormente con n determinará Q’1. Fig. 8.

Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.

Se procede de igual modo que en los ejercicios anteriores, siendo en este caso el radio del arco de abatimiento la recta R de máxima inclinación del plano dado Q. En la figura 9 se resuelve según los dos métodos vistos anteriormente.

Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.

Cuando hablamos de abatir un punto, nos referimos a abatir el plano que lo contiene para poder de este modo ver la situación del punto en alguno de los planos de proyección, en este caso sobre el plano horizontal. Primero comprobaremos mediante una recta del plano, en este caso la horizontal T, que el punto pertenece efectivamente al plano Q.

El proceso a seguir es el mismo que en el ejercicio anterior, siendo la única diferencia que este punto no está situado en la traza vertical del plano. Hacemos pasar por el punto dado A, una recta de máxima pendiente R y a partir de la proyección horizontal del punto, trazamos un segmento paralelo a la traza horizontal del plano cuya magnitud sea igual a la COTA del punto A, uniendo el extremo de este segmento, a’o, con el punto m de intersección entre la proyección horizontal de R y la traza Q del plano, obtenemos la hipotenusa del triángulo rectángulo radio del giro según vimos en el ejercicio anterior, primer método. Haciendo centro en m y con radio igual a la trazamos un arco hasta cortar a la prolongación de la proyección horizontal de R obteniendo así la ubicación sobre el plano horizontal del punto A abatido, A1. Fig.10

En la figura 11, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección auxiliándonos de la traza vertical del plano abatida en Q’1 según el segundo método del ejercicio anterior. Para ello hemos abatido un punto de la traza vertical, v’ en v’1 que unido con n define Q’1. Trazamos una recta perpendicular por la proyección horizontal de A a Q y una recta paralela a t por v’1 (recta horizontal T abatida en T1), donde ambas se cortan tenemos A1.

El abatimiento de un punto sobre el plano vertical de proyección se realiza del mismo modo pero a partir de una recta de máxima inclinación en el primer caso y auxiliándonos de la traza horizontal del plano dado, abatida sobre el plano vertical de proyección.

Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.

Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.

Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.

Para abatir un segmento dado AB, situado en un plano Q, comprobaremos primero que efectivamente pertenece al plano mediante, por ejemplo, rectas horizontales del plano Q, T y S que pasen por los extremos del segmento A y B respectivamente.

Abatiremos los puntos A en A1 y B en B1, sobre el plano horizontal en este caso, como hemos visto en las figuras 10 y 11, uniendo A1 con B1 tendremos abatido sobre el plano horizontal de proyección el segmento dado y por tanto en verdadera magnitud.. En la figura 12 se realiza el ejercicio a partir de una recta de máxima pendiente del plano que pase por A y en la figura 13 a partir de la traza vertical Q’ del plano abatida.

Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.

Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.

Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado.

Como en el caso del segmento resuelto anteriormente, lo primero es comprobar si realmente pertenece dicha superficie al plano. Para ello emplearemos rectas auxiliares, por ejemplo, horizontales.

La superficie a abatir será en el ejemplo un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C. El procedimiento a seguir es exactamente el mismo que el empleado en el abatimiento de un punto o de un segmento vistos anteriormente. En el ejercicio de la figura 14 el abatimiento se efectúa sobre el plano horizontal de proyección y se resuelve el problema por el segundo método estudiado, es decir, auxiliándonos de la traza del plano que contiene a la superficie plana abatida sobre el plano horizontal de proyección.

Podemos simplificar el trazado haciendo uso de la relación de afinidad existente entre una de las proyecciones de la figura y la propia figura abatida como veremos en el ejercicio siguiente.

Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado.

Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado y simplificando por afinidad.

Abatimiento de una superficie plana, simpliplificando mediante afinidad.

Una afinidad queda determinada como sabemos si conocemos el eje de afinidad, la dirección y la relación de afinidad o un punto afín de la figura dada.

La relación de afinidad entre las proyecciones diédricas de una figura y la figura abatida sobre uno de su plano de proyección correspondiente tiene como eje de afinidad la charnela de abatimiento y dirección de afinidad normal a la charnela, solo necesitamos conocer un punto afín de una de las proyecciones de la figura que no es sino un punto abatido por cualquiera de los métodos estudiados.

En el ejercicio de la figura 15, abatimos el punto A en A1 y resolvemos B1 y C1 por afinidad siendo n y ñ puntos dobles de esta relación. Podemos observar que el trazado del ejercicio se simplifica notablemente.

Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.

Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.

Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.

Se puede dar el caso en que necesitemos situar un punto, segmento o superficie ubicados en uno de los planos de proyección, sobre un plano dado Q, tendremos pues que desabatir estos elementos invirtiendo los pasos estudiados en los abatimientos.

En el ejemplo de la figura 16, conocida la figura A1, B1 C1 abatida sobre el plano horizontal de proyección y dado el plano Q, desabatiremos el triángulo. Podemos desabatir uno de sus vértices y calcular el resto mediante la afinidad existente entre la superficie abatida y la proyección horizontal de la figura contenida en el plano oblicuo Q.

Para desabatir uno de los tres vértices, en el ejemplo el vértice A1, y dejar de este modo definida la relación de afinidad, operamos de modo inverso al abatimiento de un punto, para ello abatimos previamente la traza vertical del plano sobre el plano horizontal de proyección y obtenemos Q’1, trazamos por  A1 una recta normal y otra paralela a la traza horizontal del plano y obtenemos en la intersección de esta última con Q’1 el punto m1. Por m1 trazamos una recta normal a la traza Q hasta cortar a la línea de tierra en m desde donde trazamos otra recta paralela a Q hasta cortar a la normal trazada por A1 a Q, obtenemos de este modo la proyección horizontal del punto A, a.

En esta operación nos hemos auxiliado de una recta horizontal del plano que contiene a A1 y la hemos desabatido para obtener la proyección horizontal de A. Obtenido a, y establecida por tanto la afinidad, trazamos las proyecciones horizontales de B y C. Para calcular las proyecciones verticales de la figura contenida en el plano dado Q, nos auxiliamos de rectas horizontales del plano Q que contengan a las proyecciones a, b y c. Obtendremos de este modo los puntos a’, b’ y c’.

EJERCICIO.

Dado el plano Oblicuo Q y la proyección vertical de un punto O en él contenido, dibujar las proyecciones diédricas de un pentágono regular de centro en O dado sabiendo que una de sus diagonales es paralela al plano horizontal de proyección y que uno de sus vértices pertenece a dicho plano. Fig. 17

SOLUCIÓN. Fig. 18

Si el punto O pertenece al plano, la proyección horizontal de O, no dibujada, debe pertenecer a una recta del plano. Hacemos pues pasar por o’ una recta auxiliar que pertenezca al plano dado, en el ejemplo de la figura hemos trazado una recta horizontal del plano dado, determinando de este modo la proyección horizontal de O sobre la proyección horizontal de esta recta auxiliar.

El punto O definido por sus proyecciones diédricas es centro de un pentágono regular. Para poder trazar este polígono, necesitamos trabajar en verdadera magnitud lineal y angular. Abatimos el centro O dado del polígono sobre uno de los planos de proyección (en el ejercicio el plano horizontal) por cualquiera de los métodos estudiados y obtenemos O1, centro del polígono que trazaremos sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y forma.

El ejercicio exige que uno de los vértices del polígono esté situado en el plano horizontal de proyección y que una de las diagonales de la figura sea paralela a dicho plano.

Para que uno de los vértices de la figura pertenezca al plano horizontal de proyección y al plano dado a la vez debe de estar situado sobre la propia traza Q del plano dado. Por otro lado una diagonal de la figura paralela al plano horizontal de proyección y perteneciente al plano dado Q no es sino una horizontal de Q, se mostrará por tanto la proyección horizontal de esta diagonal paralela a la traza horizontal de Q. La diagonal abatida también se mostrará paralela a la traza horizontal del plano.

Sabiendo que O1 es centro del polígono, que uno de sus vértices (E1) ha de estar situado en la traza horizontal Q y que una de sus diagonales se mostrará paralela a esta (B1-D1), podemos trazar geométricamente el pentágono regular. Trazado el polígono en verdadera magnitud, desabatimos por afinidad mediante la proyección horizontal de O y obtenemos las proyecciones horizontales de la figura. Calculamos las proyecciones verticales de los vértices de la figura mediante rectas del plano que contengan a las proyecciones horizontales y unimos ordenadamente los vértices así obtenidos.

Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.

Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.

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