Sistema diédrico. Ángulos.

Sistema diédrico. Ángulos.

Generalidades.

Como sabemos, las proyecciones cilíndricas producen deformaciones lineales y angulares de modo que en proyecciones diédricas un ángulo no se presenta en magnitud real salvo que este pertenezca a un plano paralelo o contenido en uno de los de proyecciónPara determinar la verdadera magnitud de los ángulos representados en Sistema Diédrico Ortogonal, los situaremos en los planos de proyección o en planos paralelos a estos.

Podemos distinguir, dentro de los ejercicios relacionados con ángulos, 3 bloques generales: el primero se referirá a los ángulos que forman entre sí los diversos elementos representados por sus proyecciones diédricas, el segundo bloque se refiere a los ángulos formados entre los elementos representados con los planos de proyección y entre los elementos y la línea de tierra el tercero.

1. Ángulos entre elementos.

Ángulo entre dos rectas que se cortan.

Dos rectas que se cortan determinan un plano. Para conocer en verdadera magnitud el ángulo formado entre estas dos rectas bastará con abatirlas a partir de una de las trazas del plano que determinan, sobre uno de los planos de proyección.

En la figura 27, dadas las rectas R y T que se cortan entre sí en el punto A, dibujaremos las trazas del plano que determinan y las abatiremos seguidamente sobre el plano horizontal de proyección por ejemplo a partir de la traza horizontal del plano. Cualquiera de los ángulos existentes entre R y T abatidas son válidos (los contiguos son suplementarios y los opuestos por el vértice idénticos) pero tomaremos sistemáticamente como resultado el ángulo opuesto a la charnela.

Ángulo entre dos rectas que se cruzan.

Dos rectas que se cruzan también determinan un ángulo, para obtenerlo, dadas las rectas K y T, trazaremos por un punto A de una de ellas, por T en el ejemplo, una recta R paralela a la otra. Las rectas T y R determinan un plano P pues se cortan en A, las abatiremos, como en el ejercicio anterior sobre uno de los planos de proyección y determinaremos así el ángulo existente entre ellas que es el mismo que el formado entre las dos rectas dadas T y K. Figura 28.

Ángulo entre dos rectas que se cortan y que se cruzan.

Ángulo entre dos rectas que se cortan y que se cruzan.

Ángulo entre recta y plano.

El ángulo α que una recta R forma con un plano P es el mismo que la recta R forma con su proyección ortogonal r en dicho plano. Para resolver en proyecciones diédricas este ejercicio, trazaremos desde un punto A arbitrario de la recta R una recta perpendicular S al plano P. El ángulo β que las rectas R y S forman entre sí es el complementario (90º-β) del ángulo buscado α.

Podemos apreciar mejor esta cuestión si trazamos por A una recta paralela a la proyección r de la recta R sobre el plano P. Fig. 29. Calcularemos el ángulo formado entre R y S como en ejercicios anteriores abatiendo el plano Q que determinan sobre uno de los planos de proyección. Fig.30. Podemos calcular el ángulo formado entre la recta R y el plano P de otro modo: determinamos el punto de intersección M de P con la recta S trazada perpendicular al plano P por el punto A y el punto E de la propia recta R con el plano P. M y E determinan un segmento perteneciente a la recta r, proyección de la recta dada R sobre el plano P por lo que calcularemos directamente el ángulo entre el segmento ME y la recta R (ángulo entre rectas).

Ángulo entre recta y plano.

Ángulo entre recta y plano.

Ángulo entre dos planos.

Para determinar el ángulo α formado entre dos planos P y Q trazamos desde un punto arbitrario A exterior a ambos, dos rectas R y S perpendiculares a ellos. El ángulo β formado entre las rectas R y S es el suplementario del ángulo buscado, luego α=180-β.

En proyecciones diédricas no apreciamos el ángulo entre las rectas R y S en verdadera magnitud, por lo que tendremos que abatirlas sobre uno de los planos de proyección, en el ejemplo de la figura 31 abatimos sobre el plano horizontal de proyección a partir de la traza horizontal O del plano que las rectas R y S determinan.

Ángulo entre dos planos.

Ángulo entre dos planos.

2. Ángulos con los planos de proyección.

Ángulo de una recta con los planos de proyección.

1er método, mediante abatimiento:

Para calcular el ángulo que una recta R forma con los planos de proyección la abatiremos sobre ambos planos.

En el abatimiento sobre el plano horizontal de proyección apreciaremos en verdadera magnitud el ángulo β que forma con este plano y abatiendo sobre el plano vertical de proyección observaremos el ángulo a que la recta R forma con él. (Fig. 32)

2º método, mediante giros:

Tomaremos 2 ejes de giro, el primero E1 vertical y conteniendo a la traza vertical de la recta v’r que giraremos hasta hacerla coincidir con el plano vertical de proyección para apreciar en verdadera magnitud el ángulo β que la recta forma con el plano horizontal de proyección. El segundo eje de giro E2 será de punta y coincidente con la traza horizontal hr de la recta R que giraremos hasta hacerla coincidir con el plano horizontal de proyección de modo que podamos apreciar el ángulo α que la recta forma con el plano vertical de proyección. Fig. 33.

Ángulo de una recta con los planos de proyección.

Ángulo de una recta con los planos de proyección.

Proyecciones de la recta a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Este ejercicio se resuelve de modo inverso al resuelto anteriormente por giro.

Conocida la verdadera magnitud del segmento (VMR) comprendido entre la traza vertical y horizontal de R y los ángulos β y α que ésta forma con el plano horizontal y el plano vertical de proyección respectivamente, determinaremos sus proyecciones.

Proyecciones de la recta a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Proyecciones de la recta a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Dibujamos en posición arbitraria la recta en verdadera magnitud formando con la línea de tierra los ángulos dados que deberán venir dados gráficamente para evitar confusiones. Quedan de este modo determinados los lugares geométricos del alejamiento de la traza horizontal y de la cota de la traza vertical de la recta.

Consideramos una de las dos rectas trazadas en verdadera magnitud, como la verdadera recta R abatida en Ro supuesto el ejercicio a la inversa, en el ejercicio de la figura 34, hemos considerado la recta Ro, como la recta R girada sobre el plano vertical de proyección.

A partir de Ro conocida, podemos determinar la traza vertical de la recta en su extremo, extremo por donde además pasará el eje de giro E1 del ejercicio anterior. Conocido el eje de giro, deshacemos el giro trazando un arco de radio Ro y centro en e1 hasta cortar a la recta que ha definido el lugar geométrico del alejamiento de la traza horizontal y obtenemos en el extremo de este arco la proyección horizontal hr de la traza horizontal de la recta. Conocidas la traza horizontal y la vertical de la recta, podemos trazar las proyecciones vertical y horizontal buscadas. El ejercicio está en cualquier caso indeterminado pues no se ha dado a conocer la ubicación exacta de la recta.

Ángulo de una recta que corta a línea de tierra con los planos de proyección.

1er método, por abatimiento.

Para apreciar en verdadera magnitud los ángulos que una recta R que pasa por la línea de tierra forma con los planos de proyección la abatimos (como cuando se trataba de una recta oblicua cualquiera) sobre cada uno de ellos auxiliándonos, en este caso, de un punto A arbitrario contenido en ella. Fig. 35 En el abatimiento sobre el plano vertical de proyección apreciamos en verdadera magnitud el ángulo a que la recta forma con dicho plano.

Ángulo de una recta que corta a línea de tierra con los planos de proyección.

Ángulo de una recta que corta a línea de tierra con los planos de proyección.

2º método: médiate giro.

Tomamos como ejes de giro rectas de punta y verticales que contengan a las trazas de la recta que en esta ocasión permanecerán inmóviles tras el giro. Giramos de este modo la recta R, a partir de un punto A de ella, sobre los planos vertical y horizontal según se tome el eje vertical o de punta respectivamente. La recta R abatida en Ro sobre el plano vertical de proyección está en verdadera magnitud y podemos apreciar por tanto el ángulo b que forma con el plano horizontal de proyección idéntico al que forma Ro con la línea de tierra. El ángulo a de la recta R con el plano vertical de proyección es en verdadera magnitud el mismo que forma la recta girada sobre el plano horizontal de proyección con la línea de tierra. Fig.36.

Proyecciones de una recta que corta a la línea de tierra a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Proyecciones de una recta que corta a la línea de tierra a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Proyecciones de una recta que corta a la línea de tierra a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección.

Igual que en el ejercicio de la figura 34, podemos determinar invirtiendo el giro, las proyecciones de una recta que pase por la línea de tierra si conocemos la verdadera magnitud de un segmento de ella y los ángulos que esta forma con los planos de proyección. Conocido el segmento AB y los ángulos α y β que este forma con los planos horizontal y vertical de proyección respectivamente calcularemos sus proyecciones. B es punto a su vez de la línea de tierra y por tanto en él coinciden las trazas de la recta.

Dibujaremos a partir de B el segmento en verdadera magnitud formando con la línea de tierra los ángulos dados. Los extremos Ao determinan la cota y el alejamiento del extremo A. Deshacemos el giro utilizando cualquiera de los dos ejes, en el ejemplo utilizando el eje de punta E2, y determinamos de este modo la proyección vertical de A, a’. Determinaremos a trazando por a’ una recta normal a la línea de tierra hasta cortar al lugar geométrico de los alejamientos de A. Conocidas las proyecciones de los extremos A y B del segmento podemos trazar las proyecciones r’ y r de la recta. Fig.37

Ángulos que forma un plano con los planos de proyección [1].

El ángulo que un plano forma con el plano horizontal de proyección es el mismo que forma una de sus rectas de máxima pendiente con dicho plano y el ángulo que un plano forma con el plano vertical de proyección es el mismo que forma una de sus rectas de máxima inclinación con este.

Bastará pues con abatir alguna de las rectas de máxima pendiente y máxima inclinación en el plano horizontal de proyección y el plano vertical de proyección respectivamente para apreciar estos ángulos en verdadera magnitud. Fig. 38.

Ángulos que forma un plano con los planos de proyección.

Ángulos que forma un plano con los planos de proyección.

Trazas de un plano cuyos ángulos con los planos de proyección se conocen.

Para trazar un plano a partir de sus ángulos con los planos de proyección, nos auxiliaremos de una recta R que pase por la línea de tierra y sea normal a él. En la figura 39 podemos observar como la recta R perpendicular al plano P, forma con el plano horizontal de proyección un ángulo β complementario del ángulo a que forma el plano P con el propio plano horizontal de proyección. Lo mismo sucede con el plano vertical de proyección, la recta R forma con él un ángulo δ complementario del ángulo d que forma el plano.

Esto es así pues, por ejemplo con relación al plano horizontal de proyección, el triángulo MJX (siendo M el punto de intersección de la recta R con la línea de tierra, J el punto de intersección de la recta y el plano y X el pié de la recta de máxima pendiente del plano que pasa por J), es rectángulo en su vértice J por lo que los ángulos β y α son complementarios entre sí, es decir, suman 90º.

El procedimiento para dibujar las trazas de un plano conocidos los ángulos que este forma con los planos de proyección consistirá por tanto en dibujar la recta auxiliar R que corte a la línea de tierra en un punto arbitrario M conocidos sus ángulos que no son sino los complementarios de los dados para el plano, para dibujar a continuación las trazas del plano P perpendiculares a las proyecciones correspondientes de la recta R. Dibujaremos a continuación las trazas de un plano P conociendo sus ángulos δ y α con los planos de proyección vertical y horizontal respectivamente y que pase por un punto B dado. Lo primero que tenemos que hacer es calcular los ángulos complementarios de los dados pues serán los que la recta R auxiliar forme con los planos de proyección.

El ángulo β que la recta R formará con plano horizontal de proyección será 90-α. El ángulo γ que la recta R formará con plano vertical de proyección será 90-δ. Dibujamos las proyecciones de la recta R a partir de los ángulos que esta forma con los planos de proyección situando el punto M de intersección de ella con la línea de tierra de modo arbitrario y considerando en verdadera magnitud un segmento MA cualquiera (Ro). (Este ejercicio está resuelto en la figura 34).

Obtenidas las proyecciones r’ y r de la recta bastaría dibujar las trazas del plano P perpendiculares a ellas pero en el enunciado se pide que el plano pase además por un punto dado por sus proyecciones B. Trazaremos una recta S auxiliar, por ejemplo horizontal, que contenga al punto B y muestre su proyección horizontal normal a la proyección horizontal de la recta. La traza vertical del plano debe contener a la traza vertical de la recta S, v’s y ser normal a la proyección r’ vertical de la recta R. La traza horizontal del plano será paralela a la proyección horizontal de la recta S y concurrirá en el punto de intersección de la traza vertical del plano P y la línea de tierra. El plano P así dibujado forma con los planos de proyección los ángulos requeridos y contiene al punto B por contener a una recta S que pasa por él. Fig. 40

Trazas de un plano cuyos ángulos con los planos de proyección se conocen.

Trazas de un plano cuyos ángulos con los planos de proyección se conocen.

3. Ángulos con la línea de tierra.

Ángulo que forma una recta con la línea de tierra.

Para determinar el ángulo α que una recta R dada forma con la línea de tierra bastará con abatir esta en Ro sobre uno de los planos de proyección.

Por la recta R dada pasan infinitos planos pero para determinar el ángulo que la recta forma con la línea de tierra nos interesa abatirla contenida en un plano P que pase también por la línea de tierra siendo esta además charnela del abatimiento. Determinamos el plano P a partir de un punto A arbitrario de la recta R. Para abatir la recta abatimos dos de sus puntos y los unimos. Tomamos el punto A y el de intersección B de la recta con la línea de tierra que permanece inmóvil en el abatimiento por pertenecer a la charnela.

Para abatir sobre el plano horizontal de proyección el punto A procedemos como de costumbre, es decir, trazamos por la proyección horizontal de A una recta perpendicular y otra paralela a la charnela. Sobre la recta paralela llevamos la cota de A obteniendo Ao y trazamos con centro en M, pié de la recta normal a la charnela trazada, y radio MAo un arco en uno u otro sentido hasta obtener en su intersección con la normal trazada por -a- el punto abatido A1 en el plano horizontal de proyección. Abatido el punto A en A1 lo unimos con el punto B inmóvil en el abatimiento y obtenemos la recta R abatida en Ro. La recta Ro forma con la línea de tierra el ángulo α buscado. Fig.41.

Ángulo que forma una recta con la línea de tierra.

Ángulo que forma una recta con la línea de tierra.

Ángulo que forma un plano con la línea de tierra.

El ángulo que un plano Q forma con la línea de tierra es el mismo que el que forma la recta R con la línea de tierra siendo la recta R recta intersección entre el mencionado plano Q y un plano perpendicular a este y que contiene a la línea de tierra. 

Determinamos el plano P perpendicular al plano Q abatiendo un plano de perfil. La mencionada recta R quedará definida si conocemos dos puntos de ella. Uno de ellos es B, punto que pertenece a ambos planos y a la línea de tierra y el otro A, punto de intersección de las trazas de perfil de ambos planos. Desabatiendo la tercera proyección de A determinamos las proyecciones horizontal y vertical de R uniendo las proyecciones horizontales y verticales de los puntos A y B. Abatimos la recta R sobre uno de los planos de proyección como en el ejercicio anterior. En este caso se ha abatido la recta sobre el plano vertical de proyección. El ángulo α formado entre la recta R abatida y la línea de tierra es el ángulo buscado. Fig.42. Obsérvese que el arco de abatimiento, de centro M y radio MAo es tangente a la traza de perfil del plano dado Q en el punto a”.

Ángulo que forma un plano con la línea de tierra.

Ángulo que forma un plano con la línea de tierra.

Determinar las proyecciones de una recta r, conocido el ángulo que forma con la línea de tierra y una de sus proyecciones.

Este ejercicio así como el siguiente, se resuelven invirtiendo los pasos de los ejercicios resueltos en las figuras 41 y 42 respectivamente. Siendo la recta R una recta que corta a la línea de tierra, conociendo el ángulo que esta forma con dicha línea y conociendo también una de sus proyecciones, en el ejemplo la horizontal, podemos determinar la proyección restante.

Dibujaremos, a partir del punto de intersección B de la recta R con la línea de tierra, dispuesto arbitrariamente, la proyección conocida y la recta abatida Ro con el ángulo dado. Situamos la proyección horizontal (en este ejemplo) de un punto A cualquiera de la recta R. Donde Ro corte a una recta normal a la línea de tierra que contenga a la proyección -a- tenemos la posición del punto A abatido en A1 sobre el plano horizontal de proyección (ver figura 41). Trazamos un arco de centro M y radio MA1 hasta cortar a una recta paralela a la línea de tierra trazada por la proyección horizontal de A quedando determinado el punto Ao y con él la cota de A. Conocida la cota de A dibujamos la proyección vertical del punto A que unida con la proyección vertical del punto B determinará la proyección vertical r’ buscada. Fig.43

Determinación de las proyecciones de una recta r, conocido el ángulo que forma con la línea de tierra y una de sus proyecciones. Determinación las trazas de un plano, conocida una de ellas y el ángulo que este forma con la línea de tierra.

Determinación de las proyecciones de una recta r, conocido el ángulo que forma con la línea de tierra y una de sus proyecciones. Determinación las trazas de un plano, conocida una de ellas y el ángulo que este forma con la línea de tierra.

Determinar las trazas de un plano, conocida una de ellas y el ángulo que este forma con la línea de tierra.

Dado el ángulo que un plano Q forma con la línea de tierra y conocida una de sus trazas, la vertical Q’ en el ejemplo de la figura 44, determinaremos la traza horizontal Q. Dibujamos, a partir del punto B de concurrencia sobre la línea de tierra del plano Q, la traza conocida y la recta Ro abatida con el ángulo dado (R es la recta intersección del plano Q con un plano P perpendicular a este y que contiene a la línea de tierra según vimos en la figura 42. El ángulo que esta recta forma con la línea de tierra es igual al que con ella forma el plano Q).

Dibujamos un plano de perfil auxiliar y obtenemos el punto M. Con centro en M trazamos un arco de radio Ma’. Desde el punto de intersección de la traza Q’ con el plano de perfil trazamos la tercera traza Q” del plano, tangente al arco trazado, esta corta a la línea de tierra en x. Con centro en M y radio Mx trazamos un arco hasta cortar en w al plano de perfil. Unimos la proyección horizontal de B con w y queda de este modo dibujada la traza horizontal Q buscada.



  • [1] La suma de los ángulos que un plano forma con los planos de proyección ha de estar necesariamente comprendida entre 90º y 180º así como la suma de los ángulos que una recta forma con los planos de proyección estará comprendida entre 0º y 90º.
  • Los casos extremos son para planos, los horizontales y frontales donde sus ángulos sumarían 90º en total, y los planos de perfil, con un máximo de 180º.
  • Para las rectas, la suma de ángulos en las paralelas a la línea de tierra es de 0º y las de punta, verticales, oblicuas o de perfil sumarían 90º.

 

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  • Jose Vázquez

    Hola. ¿Alguien sabe como trazar una recta que forme 38º con el plano horizontal y 63 con el plano vertical?
    Para estos ángulos concretos no soy capaz de trazarla

    • Es el caso del 5ª grupo de ilustraciones “Proyecciones de la recta a partir de las ángulos que forma con los planos de proyección”. Son ángulos parecidos a los de el cartabón y, lógicamente, tiene solución. Suponiendo que, además de los ángulos conoces la verdadera magnitud del segmento entre trazas, el error puedes tenerlo en que, en lugar de hacer centro en e1 (sobre la linea de tierra) para deshacer el giro, haces centro en v’r y el arco no te corta al lugar geométrico de los alejamientos de la traza horizontal.

      • Jose Vázquez

        Hola Miguel. Ante todo gracias por responder.
        He visto esta ilustración que me indicas, pero en mi caso no conozco el alejamiento.
        Tan solo los ángulos con ambos planos.
        Lo que no entiendo de ese diagrama es de donde obtengo el alejamiento, si tan solo tengo los ángulos.
        Si me pudieses echar una mano te lo agradecería enormemente
        Saludos y gracias de nuevo

        • Para poder resolver el ejercicio has de conocer, además de los ángulos, la verdadera magnitud del segmento entre trazas. De ese dato va a depender que la recta esté más o menos alejada de los planos de proyección. Si no te han dado el dato trata de resolverlo con una medida cualquiera, y al menos “sabrás la orientación de la recta”. Este es el mismo ejercicio –pero haciendo las operaciones más o menos a la inversa– que justo el anterior “Ángulo de una recta con los planos de proyección”, en el método que se resuelve por giro… El alejamiento lo obtienes al poner la proyección horizontal “ya girada” y por tanto en verdadera magnitud lineal y angular: “Dibujamos en posición arbitraria la recta en verdadera magnitud formando con la línea de tierra los ángulos dados… Quedan de este modo determinados los lugares geométricos del alejamiento de la traza horizontal y de la cota de la traza vertical de la recta”

          • Jose Vázquez

            Hola Miguel.
            No lo consigo, lo intentado por varios procedimientos.
            Te envío hasta donde avanzo, pero al intentar colocar los 63º es donde se me descuadra todo

          • Jose Vázquez

            A ver si se ve la imagen

          • Jose Vázquez
          • Hola José. Es cierto, no puedes y ya sé xq. La suma de ambos ángulos no puede ser nunca mayor de 90º. Imagina que la recta es la hipotenusa de un cartabón (30º, 60º, 90º) y en posiciones extremas. Y que tenemos apoyado el cartabón por su cateto mayor en el PH. Una posición extrema sería el cartabón coincidiendo con el PV. La suma de ángulos seria la mínima = 30º (30 con PH, 0 con PV). La otra posición extrema es el cartabón perpendicular a PV. Ahí la suma es la máxima = 90 (30+60). Los valores intermedios oscilan entre 30 y 90 por lo que el ángulo con plano con el vertical en este caso oscilará entre 0 y 60. Voy a ver si subo un archivo en Geogebra.

          • Jose Vázquez

            Gracias. Es que lo había intentado dibujar hasta en 3 dimensiones y no lo conseguía-

            El caso es que el ejercicio indica que los ángulos del rayo de luz (para obtener las sombras) tienen que ser los siguientes:

            Acimut: 207.41°

            Zenith: 38.39°

            Si no recuerdo mal, Acimut 0 es en el norte geográfico.
            Y el Zenith es la elevación sobre el horizonte. O se el ángulo sobre el plano horizontal.
            Quizás el error esté en la interpretación del Acimut.

          • Ya he incrustado un archivo de Geogebra donde se ve la limitación de que te hablo.
            En función de dónde consideres que esté el norte así será el ángulo. Si lo consideras sobre la línea de tierra quizá el ángulo sea de 27 y no 63.

          • Jose Vázquez

            Hola Miguel.
            Si, al final lo he puesto a 27º, aunque no lo veo claro del todo. Pero es la única forma en la que me cuadra el resultado.
            Gracias de nuevo

          • He subido una ilustración a Geogebra.org en 3D donde puedes cambiar la posición de las trazas de la recta dinámicamente. Verás como el ángulo total siempre es <90º. Otro asunto es cómo hacer la interpretación de los datos del problema. http://ggbtu.be/m232971
            Un saludo!

  • Bernardo

    Hola! Alguien sabe como trazar una recta que sea oblicua y que al representarla en los planos frontal, horizontal y de perfil se vea oblicia?