Sistema Diédrico Ortogonal. Sombras. Foco impropio

Sombras. Foco impropio

Cuando la luz tiene su origen en un foco impropio (en el infinito) el dato dado es una dirección, expresada en forma de recta con ubicación arbitraria.

Sombra de un punto.

Sistema Diédrico Ortogonal. Sombra de un punto en los planos de proyección. Foco impropio.

Sistema Diédrico Ortogonal. Sombra de un punto en los planos de proyección. Foco impropio.

Sombra de un punto en los planos de proyección.

Dada la dirección[1] de los rayos luminosos D (d’,d), hacemos pasar por el punto dado A (a’,a) rectas paralelas a las proyecciones homónimas de la dirección dada quedando así definida la recta de sombra R. Las trazas hr y v’r de ésta recta con los planos de proyección determinan las sombras de A sobre dichos planos. (Sombra de A (Sa-pv) en el plano vertical de proyección=v’r. Sombra de A (Sa-ph) en el plano horizontal de proyección=hr). Figura 4.

Sombra de un punto en un plano oblicuo.

Dada la dirección de la luz D y el punto A, para calcular la sombra de este en un plano Q, operaremos en principio de igual forma que en el ejercicio anterior. La intersección de la recta R de sombra con el plano dado Q determina la sombra del punto A sobre dicho plano. Para calcular ésta intersección recta-plano nos auxiliamos, como sabemos, de un segundo plano de fácil trazado (proyectante) que contenga a la recta R. Figura 5.

Sombra de una recta.

Sombra de una recta en los planos de proyección.

Es el lugar geométrico de las sombras arrojadas de todos sus puntos. Dada la recta R y la dirección D, calculamos las sombras de dos puntos A y B de la recta mediante el procedimiento explicado. Uniendo las sombras arrojadas de A y B sobre el plano vertical y las sombras sobre el plano horizontal, obtenemos las sombras de la recta dada (Sr, pv y Sr, ph) sobre dichos planos. Si se prolongan, éstas deben coincidir en un mismo punto (doble) de la línea de tierra[2]. Figura 6.

Sistema Diédrico. Sombra de un punto en un plano oblicuo. Sombra de un segmento en los planos de proyección.

Sistema Diédrico. Sombra de un punto en un plano oblicuo. Sombra de un segmento en los planos de proyección.

Sombra de una recta en un plano oblicuo.

Calculamos las sombras de 2 de los puntos de la recta sobre el plano dado Q tal y como vimos en “sombra de un punto”, uniendo las proyecciones homónimas de las sombras de los puntos A y B obtenemos las proyecciones vertical y horizontal (Sr’ y Sr[3]) de la sombra buscada. Figura 7

Sistema Diédrico. Sombra de un segmento y una figura plana en un plano oblicuo.

Sistema Diédrico. Sombra de un segmento y una figura plana en un plano oblicuo.

Sombra de figuras planas.

Sombra de un polígono en los planos de proyección.

Se calculan las sombras de los vértices de la figura dada (A, B y C en el ejemplo) por el método anteriormente descrito, uniendo las sombras homónimas ordenadamente obtenemos la sombra del polígono en cuestión. Figura 8. Si la sombra cae sobre la línea de tierra, los lados homónimos del polígono de sombra que la corten tendrán un punto doble en ella ( Figura 9, puntos 1 y 2). Considerando ambos planos de proyección opacos, las partes vistas de los polígonos de sombra son las que pertenecen al primer cuadrante.

Sombra de un polígono horizontal, en los planos de proyección.

Si el polígono es paralelo a uno de los planos de proyección (horizontal o frontal), la sombra sobre este plano es idéntica al propio polígono. Figura 9.

Sombra de un polígono en un plano oblicuo.

Calculando las sombras de sus vértices sobre el plano oblicuo dado y uniendo las homónimas obtenemos la sombra del polígono. Figura 10.

Sistema Diédrico. Sombra de una figura plana en los planos de proyección y en un plano oblicuo.

Sistema Diédrico. Sombra de una figura plana en los planos de proyección y en un plano oblicuo.

Sombra de cuerpos en los planos de proyección.

Sistema Diédrico. Sombra de un prisma.

Sistema Diédrico. Sombra de un prisma.

Se calculan las sombras de sus vértices, uniendo las homónimas ordenadamente obtenemos la sombra arrojada del cuerpo. Los casos que veremos son de cuerpos sencillos, apoyados en el plano horizontal de proyección, presentan por tanto una o dos bases según sea el cuerpo, paralelas a uno de los planos de proyección.

Sombra del prisma.

Dibujaremos la sombra de un prisma recto apoyado por una base en el plano horizontal de proyección. Calculamos para ello la sombra de la base superior (sombras de a’, b’ y c’) en el plano horizontal (Sa, Sb, Sc) y la sombra sobre éste plano de la base inferior, coincidente ésta última con ella misma por lo que, uniendo las sombras obtenidas de la base superior con los vértices correspondientes de la base inferior (d, e y f) obtenemos la sombra de las aristas laterales y de las bases del cuerpo en el plano horizontal.

Calculamos las sombras de los vértices (solo nos resultaran útiles las sombras de los vértices de la base superior) del cuerpo en el plano vertical de proyección. Las sombras de las aristas C-B y C-A del cuerpo cortan a la línea de tierra en los puntos 1 y 2, estos puntos son “dobles” pues pertenecen simultáneamente a las sombras del cuerpo sobre ambos planos de proyección.

Supuestos opacos los dos planos de proyección, la sombra se deja ver solamente sobre el primer cuadrante por lo que gran parte de la sombra sobre el plano vertical será oculta en éste ejemplo así como la sombra del vértice C sobre el plano horizontal de proyección y parte de las aristas que a él concurren. El contorno de la sombra en ésta situación (planos de proyección opacos) será el polígono de vértices “sombra de E en el plano horizontal de proyección” (Se-ph), “sombra de F en el plano horizontal de proyección” (Sf-ph), Punto doble 1, “sombra de C en el plano vertical de proyección” (Sc-pv), punto doble 2 y “sombra de B en el plano horizontal de proyección” (Sb-ph). Figura 11.

SOMBRA PROPIA: Decíamos que, el límite entre sombra propia y zona iluminada lo determinaba la línea separatriz (definida por los puntos de tangencia de los rayos de sombra con el cuerpo). En el caso de un cilindro o un cono tendremos que calcularla pero cuando trabajemos con una superficie prismática las propias aristas del cuerpo (algunas) harán de línea separatriz. En el ejemplo son líneas separatrices las aristas laterales F-C, E-B y básicas A-C, A-B y F-E.

Las zonas iluminadas serán las caras donde incidan directamente los rayos luminosos y las de sombra propia donde no. Las aristas dispuestas entre caras iluminadas y de sombra propia, son líneas separatrices. Figura 11. En las figuras 11A y 11B se ha realizado el mismo ejercicio de la figura 11 supuestos transparentes los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.

Sistema Diédrico. Sombra de un prisma en los planos de proyección considerando el horizontal y el vertical transparentes respectivamente.

Sistema Diédrico. Sombra de un prisma en los planos de proyección considerando el vertical (11A) y el horizontal (11B) transparentes.

Sombra de la pirámide.

Pirámide con la base contenida en el plano horizontal de proyección. La sombra de la base sobre el plano horizontal de proyección coincidirá con la propia base. La sombra del vértice se calcula como la de un punto aislado. Para determinar las sombras de las aristas laterales sobre el plano horizontal de proyección se trazan rectas desde la sombra del vértice en dicho plano hasta los vértices de su base. Para determinar las aristas que hacen la función de líneas separatrices, trazamos en la planta rectas paralelas a la proyección horizontal de la dirección dada y que pasen por los vértices de la base, los vértices comprendidos entre las paralelas así trazadas y extremas no se corresponden con aristas que hagan de líneas separatrices, no así los otros. Son separatrices las aristas F-C y E-C. En éste ejercicio y en el siguiente, la sombra comprendida en el primer cuadrante y por tanto vista, corresponde exclusivamente a la arrojada sobre el plano horizontal de proyección. Figura 12.

Sombra del cono.

Cono recto de revolución con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Trabajamos de la misma forma que en la pirámide. Las líneas separatrices son las generatrices trazadas por los puntos de tangencia e y f resultado de trazar rectas tangentes a la base desde la sombra del vértice Sc. Figura 13.

Sistema Diédrico. Sombra de una pirámide y un cono.

Sistema Diédrico. Sombra de una pirámide y un cono.

Sombra del cilindro.

Cilindro recto y de revolución, con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Se resuelve de igual forma que el prisma, para determinar las generatrices separatrices trazamos en planta rectas tangentes a la base y paralelas a la proyección horizontal de la dirección de sombra dada obteniendo los puntos C y D por donde trazaremos las generatrices separatrices C-A y D-B. La sombra de la base superior será un círculo en el plano horizontal de proyección por ser ésta paralela a dicho plano y una elipse en el plano vertical de proyección. De la posición relativa del cuerpo respecto al plano vertical de proyección dependerá que se vea integramente la elipse, el círculo o ambas figuras parcialmente. En las ilustraciones 14 A y 14 B se ha proyectado la sombra del cilindro suponiendo transparentes los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.

Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando el vertical y el horizontal transparentes.

Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando el vertical (14A) y el horizontal (14B) transparentes.

En la figura 15, se proyecta la sombra del cilindro vista en el primer cuadrante pues hemos supuesto opacos los planos de proyección. Los puntos dobles 1 y 2 pertenecen simultáneamente a las sombras que el cilindro arroja sobre ambos planos de proyección.

Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando los planos de proyección opacos.

Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando los planos de proyección opacos.


[1]A partir de éste ejercicio, en todos los casos de Sistema Diédrico Ortogonal que utilicemos de ejemplo, la dirección dada será la diagonal de un cubo con dos caras contenidas en los planos de proyección

[2]Las sombras Sr’ y Sr son en realidad las trazas de un plano de sombra, formado o determinado por las infinitas rectas de sombra que pasan por R con la dirección dada. El punto doble mencionado no es sino el vértice de éste plano..

 

[3]Algunos autores designan las sombras de un punto A (A,A’) y de una recta R (R,R’).

 

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