Determinación y proyecciones de la recta en el sistema cónico

1. Son tres los puntos de la recta a destacar en este Sistema, el primer punto notable es la intersección o traza de la recta R con el plano geometral (G₁₎. Su proyección directa G y horizontal g coinciden pues el punto G₁ está sobre el propio plano geometral.
2. El segundo punto notable es el punto de intersección entre la recta R y el Plano del Cuadro (T₁₎, su proyección sobre el geometral es t₁. Proyectados cónicamente sobre el cuadro obtenemos T y t. La proyección horizontal t ha de estar necesariamente sobre la línea de tierra.
3. El tercer punto notable es la proyección L sobre el cuadro del punto L₁ impropio, hacia donde la recta se aleja indefinidamente de dicho plano. La proyección l₁ de L₁ sobre el geometral, queda proyectada cónicamente sobre el cuadro en l, siempre sobre la línea del horizonte. Este punto recibe el nombre de PUNTO IMPROPIO, PUNTO LÍMITE o PUNTO DE FUGA.

En perspectiva libre se obtiene la proyección sobre el Plano del Cuadro de éste punto al trazar por el centro de proyección V, rectas paralelas a la recta dada R₁ y a su proyección sobre el geometral r₁ (dos rectas paralelas se cortan en un punto del infinito, una que lo sea a R₁ determina, si pasa por V la proyección de «este punto del infinito» sobre el cuadro), obtenemos de este modo sobre el cuadro los puntos de intersección L y l respectivamente, la proyección horizontal estará siempre sobre la línea del horizonte pues, si la recta r₁ está en el plano geometral y por el centro de proyección V trazamos una paralela a ésta, la paralela debe estar contenida en el plano del horizonte y por tanto pasar por la línea del horizonte.

Las proyecciones directas de todos estos puntos notables deben estar sobre la directa de la recta y las horizontales sobre la proyección horizontal de la recta. Proyecciones directas y horizontales de estos puntos deben además estar alineadas sobre rectas perpendiculares a la línea de tierra o del horizonte, como sucede con cualquier punto. En la figura 1, se dibujan en perspectiva libre y sobre los elementos del sistema los puntos notables de una recta R representándose en la figura 2 en perspectiva cónica. Las proyecciones horizontales l y t por estar siempre sobre la línea del horizonte y de tierra respectivamente y alineadas en rectas perpendiculares a estas por sus proyecciones directas L y T, no se dibujan por norma general. El Plano del Cuadro se considera transparente y el Geometral opaco, por lo que a partir del punto G, las rectas serán ocultas y se trazarán de puntos.

Son paralelas o están contenidas en el geometral.

Recta contenida en el geometral

Las proyecciones directa R y horizontal r de la recta son coincidentes y por tanto no hay traza con el geometral. Las proyecciones directa y horizontal del punto de fuga (L,l) y de la traza con el cuadro (T,t), coinciden. Figura 3

Recta paralela al geometral

La proyección directa de ésta recta, R fuga en LH, pues L y l  coinciden ahí (si trazamos paralelas a R y r por V tenemos que ambas coinciden en LH). También coinciden en este punto G y g, pues por ser R y r paralelas en la realidad, se cortan en el infinito. Figura 4.

Recta paralela al geometral y perpendicular al cuadro

Es igual que la anterior pero por ser  perpendicular al cuadro, el punto de coincidencia de G y L es P, principal. Figura 5.

Recta paralela a LT

Las proyecciones directa y horizontal son paralelas a LT. No tiene puntos notables. Figura 6.

Son paralelas al cuadro. No tienen por tanto traza con él estando por tanto el punto Tt en el infinito, su proyección horizontal r es paralela a la línea de tierra.

Recta contenida en el plano del cuadro

Su proyección horizontal r, coincide en LT. Figura 7.

Recta paralela a PC y oblicua al geometral

Figura 8.

Recta perpendicular al geometral

Su proyección R es perpendicular a la línea de tierra, la horizontal r queda reducida a un punto coincidente con la proyección cónica de su traza sobre el geometral Gg. Figura 9.

Recta perpendicular al geometral y contenida en el cuadro

Idéntica a la anterior pero coincidiendo sobre la línea de tierra la proyección horizontal r, y las proyecciones G y g. Figura 10.

Recta que corta a la línea de tierra

La traza con el cuadro Tt y con el geometral Gg, coinciden en la propia línea de tierra. Figura 11.

Recta que corta al plano geometral en la línea de desvanecimiento

R y r son paralelas, G y g se cortan por tanto en el infinito o línea de desvanecimiento. Figura 12.

Recta que pasa por el centro de proyección V

La proyección horizontal r es siempre perpendicular a LT. Por su parte, R que queda proyectada en un punto y Gg, coinciden en T. Figura 13.

Dada una recta Rr, que forme 45º con el Plano del Cuadro, trazamos por el centro de proyección V rectas paralelas a R y r para determinar L y l en el cuadro. Podemos dibujar en perspectiva libre un triángulo isósceles PVL en donde P es el punto principal, V el centro de proyección y L el punto límite de la recta en cuestión. Los lados PV y PL de éste triángulo son iguales.

Como sabemos PV no es sino la distancia focal d, determinada sobre la línea del horizonte en D y D’, por lo que PV=PL=PD=d. Trazando una circunferencia de radio PD y centro en P, sobre el plano del cuadro, obtenemos el lugar geométrico de los puntos límites de todas las rectas que formen 45º con el cuadro. Figura 14.

Por formar 45º con el Plano del Cuadro el punto límite L de esta recta debe estar sobre la circunferencia antedicha. Por estar situada en el plano geometral o ser paralela a él, la proyección directa de ésta recta debe fugar sobre la línea del horizonte. Los puntos límite de esta recta solo pueden ser por tanto D o D’ pues pertenecen a la circunferencia mencionada y a la línea del horizonte simultáneamente. Figura 14, recta S.

Supongamos una recta R₁ que forma un ángulo α con el cuadro. Trazando por el centro de proyección V una recta paralela S₁ a R₁ tendremos su punto límite L sobre el Plano del Cuadro. Ésta recta paralela formará además con el Plano del Cuadro el mismo ángulo α que R₁ con dicho plano y será generatriz de un cono recto de revolución de centro en el punto principal P y altura la distancia focal P-V.

Abatimos el eje del cono P-V sobre el cuadro tomando como charnela la línea del horizonte y considerando la distancia focal existente, trazamos una generatriz de este cono por V abatido en V_o y que forme para ello con la línea del horizonte un ángulo α igual al dado, obtenemos así el punto n. El segmento nP es el radio de la circunferencia base del cono y lugar geométrico de todos los puntos límite de las rectas que formen un ángulo α  igual al dado con el cuadro. Figura 15.