Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias

Mediante los axiomas básicos: el punto de tangencia entre dos circunferencias está alineado con sus centros, el radio de la circunferencia que contiene al punto de tangencia es siempre perpendicular a la recta tangente y el centro de una circunferencia tangente a dos rectas concurrentes está ubicado en la bisectriz de estas, resolvemos diversos ejercicios de circunferencias tangentes a rectas y circunferencias.

6. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos rectas que se cortan

Dadas las rectas s y t y el radio r, trazamos paralelas a s y t a distancia igual al radio dado, donde estas paralelas se cortan, tenemos los centros O1, O2, O3 y O4 de las cuatro posibles soluciones, para determinar los puntos de tangencia bastará trazar perpendiculares a las rectas s y t desde dichos centros (ej.: T4 en O4). FIG. 9

Circunferencias tangentes a rectas
Circunferencias de radio dado tangentes a rectas secantes. Figura 9

7. Circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia y recta dadas

Dada la circunferencia de centro O y radio R, y la recta s, trazamos una circunferencia de centro O y radio R+r dado, y una recta paralela a s, a distancia r, el corte de estos elementos auxiliares determina los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Los puntos de tangencia en las circunferencias están en línea con el segmento unión de centros O1-O y en la recta s, en los pies de las normales a ella trazada desde O1 y O2. FIG. 10

Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias
Circunferencias de radio dado tangentes a una recta y una circunferencia. Figura 10

8. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos circunferencias secantes entre sí

Dadas O, O’ y el radio r, trazamos circunferencias concéntricas a las dadas con radios R+r, R-r, R’+r y R’-r, las intersecciones de estas circunferencias auxiliares determinan los centros de las circunferencia tangentes a ambas buscadas. Los puntos de tangencia están sobre los segmentos que unen dos centros. Son ocho las soluciones posibles, sucede cuando  r<(R+R’-OO’). FIG. 11

Circunferencias tangentes a rectas a dos circunferencias secantes
Circunferencias tangentes a rectas a dos circunferencias secantes. Figura 11

9. Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos

Dadas las rectas r, s y t que forman un triángulo, la circunferencia interior tangente a las tres rectas tiene su centro O1 donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo, incentro. Los puntos de tangencia (ej.: T1) se calculan trazando normales desde O1 a las rectas dadas siendo O1 T1 el radio de la circunferencia buscada.

Los centros O2, O3 y O4, radios y puntos de tangencia de las circunferencias tangentes a las tres rectas, exteriores al triángulo se calculan del mismo modo. FIG. 12

Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos
Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos. Figura 12

10. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas

Dadas r, s y t trazamos la paralela media PM a r y s que debe contener a los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas, trazamos las bisectrices de los ángulos que t forma con r o s para determinar el lugar exacto, los centros equidistan de las tres rectas dadas. FIG. 13

Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas. Figura 13

11. Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí

Dado el triángulo equilátero ABC, las circunferencias buscadas deben tener sus centros en las bisectrices de sus ángulos interiores. Desde “a”, pié de la normal de A a su lado opuesto (las alturas, bisectrices y demás rectas notables coinciden en un triángulo equilátero) trazamos la bisectriz del ángulo de 90º formado por este lado y su normal trazada, que corta a la bisectriz del vértice B, contiguo, en O3. Determinamos la ubicación de O2 y O1 sobre sus bisectrices transportando, la distancia desde O3 al incentro del triángulo, sobre ellas. FIG. 14

Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí
Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí. Figura 14

12. Circunferencias tangentes a 2 rectas convergentes y entre sí

Dadas r y s trazamos la bisectriz del ángulo que forman entre sí. Con centro en un punto cualquiera O1 de esta bisectriz, trazamos una circunferencia tangente a ambas rectas (radio O1T1; T1 punto de tangencia en s, pié de la normal de O1 a T1), esta circunferencia corta en B a la bisectriz por donde trazamos una perpendicular a la misma, obteniendo C en su corte con una de las rectas. Trazamos por C la bisectriz del ángulo BCr que corta en O2 a la bisectriz de r y s, centro de otra circunferencia (de radio O2-B), tangente a r, s y a la circunferencia anteriormente trazada. FIG. 15

Circunferencias tangentes a dos rectas convergentes y entre sí
Circunferencias tangentes a dos rectas convergentes y entre sí. Figura 15

13. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio

Por tratarse de tres circunferencias (O1, O2 y O3) de igual radio, los puntos de tangencia equidistarán de sus centros respectivos por lo que las circunferencias solución tendrán su centro coincidente con el centro de una circunferencia que pase por los tres centros dados, calculamos este centro mediante mediatrices de los segmentos unión de centros. Los puntos de tangencia están alineados con los segmentos que unen las circunferencias tangentes entre sí, por ejemplo O-O2, y en su intersección con estas, determinan además los radios R y R’ de las circunferencias solución. FIG. 16

Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio
Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio. Trazar un número -n- de circunferencias iguales, tangentes entre sí y a otra dada. Figuras 16 y 17

14. Trazar un número -n- de circunferencias iguales, tangentes entre sí y a otra dada

Dada la circunferencia de centro O, se divide en el mismo número de partes que circunferencias tangentes queramos trazar, en el ejemplo 5.

Dichas divisiones se unen con el centro O, trazamos la bisectriz de una de ellas (en la figura la del ángulo O5-O-O1), que corta en B a la tangente trazada por uno de los lados del ángulo a la circunferencia de centro O (en el ej. En T5), trazamos la bisectriz del ángulo ABO que corta en O5, centro de una de las circunferencias solución, al segmento O-T5. Con centro en O y radio O5 trazamos una circunferencia auxiliar que determinará en su intersección sobre el resto de las divisiones, los centros de las circunferencias buscadas.

Los puntos de tangencia están en línea con los segmentos unión de centros de circunferencias tangentes entre sí, los de la circunferencia dada y soluciones coinciden con las divisiones efectuadas, para calcular los de las soluciones entre sí unimos dos centros, O1 y O2, y determinamos T entre ellas, con radio O-O4 trazamos otra circunferencia auxiliar y obtenemos el resto en su intersección con las divisiones efectuadas. FIG. 17

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