Transformaciones anamórficas. Equivalencias

Son equivalentes las figuras que, teniendo distinta forma, mantienen igual el área.

Triángulos equivalentes

Dado que el área de un triángulo es

A= b·a/2

Obtendremos un triángulo equivalente al dado simplemente cambiando la posición de uno de sus vértices siempre que mantenga la misma altura. (Fig. 46)

Polígonos equivalentes

Si triangulamos la figura y, como en el ejercicio anterior cambiamos la posición de uno de los vértices del triángulo, obtenemos un polígono diferente y de área idéntica. En el ejemplo se ha reducido uno de los lados del polígono de cuatro lados y lo hemos convertido en un triángulo. (Fig. 47)

Paralelogramos equivalentes

Puesto que el área del rectángulo es

A= b·a

Cualquier nuevo paralelogramo que respete la altura será equivalente. En el ejemplo hemos convertido el rectángulo en un rombóide. (Fig. 48)

Trapecio y rectángulo equivalentes

Para dibujar un rectángulo equivalente a un trapecio dado, tendremos en cuenta que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, y la de un rectángulo la base por la altura:

(b1+b2)/2)·h=b·h ; (b1+b2)/2)=b ; (CD+AB)/2=A’B’

Si igualamos ambas expresiones vemos que la base del rectángulo buscado, para que se mantenga la igualdad, tiene que medir la semisuma de las bases, que es lo que mide la paralela media del trapecio. (Fig. 49)

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Si igualamos las áreas de ambas figuras y despejamos tenemos que el lado del cuadrado buscado es la raíz cuadrada del producto de los lados del rectángulo dado. (Fig. 50)

b·h=l² ; l=√(b·h)

Ya vimos en la fig. 10 como resolver gráficamente, mediante la media proporcional (en este caso mediante el teorema de la altura) la raíz cuadrada del producto de dos segmentos, que es la magnitud del lado del cuadrado buscado.

a/l=l/b ; a·b=l²; l=√(a·b)

Cuadrado equivalente a un polígono regular

El área de un polígono regular es igual al semiperímetro por la apotema. Si igualamos las áreas y tenemos que:

(P·a)/2=l² ; l=√(P/2)·a

Para calcular el lado del cuadrado equivalente calculamos por tanto la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por la apotema, es decir, la media proporcional de ambos. (Fig. 51)

Cuadrado equivalente a un círculo

El área de la circunferencia es πr². Si igualamos las áreas de la circunferencia y el cuadrado tenemos que:

π·r²=l² ; πr·r=l²  ; l=√(πr·r)

Para obtener el lado del cuadrado equivalente a la circunferencia, tenemos por tanto que hallar la media proporcional entre πr y r, siendo πr la longitud de la semicircunferencia (pues L=2πr).

Rectificaremos la semicircunferencia por el método de Kochanski. (Fig. 52)

Cuadrado equivalente a la suma o diferencia de otros dos

Basta con situar los lados de los cuadrados a sumar como catetos de un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa resultante el lado del cuadrado equivalente a la suma de áreas.

Esto es debido al teorema de Pitágoras:

a²=b²+c²

Es decir, el área del cuadrado de lado a es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado c y b en un triángulo rectángulo.

Para obtener la diferencia, despejamos. (Figura 53)

Ejercicio. Cuadrado equivalente a una figura dada

1. Calcula gráficamente un cuadrado de área equivalente al área sombreada

Calculamos el área del polígono y le restamos el área de la circunferencia inscrita mediante el Teorema de Pitágoras, según hemos visto en este tema.