Transformaciones anamórficas. Equivalencias

Tabla de contenidos

Son equivalentes las figuras que, teniendo distinta forma, mantienen igual el área.

Triángulos equivalentes

Dado que el área de un triángulo es

A= b·a/2

Obtendremos un triángulo equivalente al dado simplemente cambiando la posición de uno de sus vértices siempre que mantenga la misma altura. (Fig. 46)

Triángulos equivalentes y Conversión de un cuadrilátero en un triángulo equivalente.
Triángulos equivalentes y Conversión de un cuadrilátero en un triángulo equivalente.

Polígonos equivalentes

Si triangulamos la figura y, como en el ejercicio anterior cambiamos la posición de uno de los vértices del triángulo, obtenemos un polígono diferente y de área idéntica. En el ejemplo se ha reducido uno de los lados del polígono de cuatro lados y lo hemos convertido en un triángulo. (Fig. 47)

Paralelogramos equivalentes

Puesto que el área del rectángulo es

A= b·a

Cualquier nuevo paralelogramo que respete la altura será equivalente. En el ejemplo hemos convertido el rectángulo en un rombóide. (Fig. 48)

Paralelogramos equivalentes y Trapecio y rectángulo equivalentes
Paralelogramos equivalentes. Trapecio y rectángulo equivalentes

Trapecio y rectángulo equivalentes

Para dibujar un rectángulo equivalente a un trapecio dado, tendremos en cuenta que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, y la de un rectángulo la base por la altura:

(b1+b2)/2)·h=b·h ; (b1+b2)/2)=b ; (CD+AB)/2=A’B’

Si igualamos ambas expresiones vemos que la base del rectángulo buscado, para que se mantenga la igualdad, tiene que medir la semisuma de las bases, que es lo que mide la paralela media del trapecio. (Fig. 49)

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Si igualamos las áreas de ambas figuras y despejamos tenemos que el lado del cuadrado buscado es la raíz cuadrada del producto de los lados del rectángulo dado. (Fig. 50)

b·h=l2 ; l=√(b·h)

Ya vimos en la fig. 10 como resolver gráficamente, mediante la media proporcional (en este caso mediante el teorema de la altura) la raíz cuadrada del producto de dos segmentos, que es la magnitud del lado del cuadrado buscado.

a/l=l/b ; a·b=l2; l=√(a·b)

Cuadrado equivalente a un rectángulo.
Cuadrado equivalente a un rectángulo.

Cuadrado equivalente a un polígono regular

El área de un polígono regular es igual al semiperímetro por la apotema. Si igualamos las áreas y tenemos que:

(P·a)/2=l2 ; l=√(P/2)·a

Para calcular el lado del cuadrado equivalente calculamos por tanto la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por la apotema, es decir, la media proporcional de ambos. (Fig. 51)

Cuadrado equivalente a un polígono regular
Cuadrado equivalente a un polígono regular

Cuadrado equivalente a un círculo

El área de la circunferencia es πr2. Si igualamos las áreas de la circunferencia y el cuadrado tenemos que:

π·r2=l2 ; πr·r=l2  ; l=√(πr·r)

Para obtener el lado del cuadrado equivalente a la circunferencia, tenemos por tanto que hallar la media proporcional entre πr y r, siendo πr la longitud de la semicircunferencia (pues L=2πr).

Rectificaremos la semicircunferencia por el método de Kochanski. (Fig. 52)

Cuadrado equivalente a un círculo
Cuadrado equivalente a un círculo

Cuadrado equivalente a la suma o diferencia de otros dos

Basta con situar los lados de los cuadrados a sumar como catetos de un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa resultante el lado del cuadrado equivalente a la suma de áreas.

Cuadrado equivalente a la suma de otros dos.
Cuadrado equivalente a la suma de otros dos.

Esto es debido al teorema de Pitágoras:

a2=b2+c2

Es decir, el área del cuadrado de lado a es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado c y b en un triángulo rectángulo.

Para obtener la diferencia, despejamos. (Figura 53)

Cuadrado equivalente a la diferencia de otros dos
Cuadrado equivalente a la diferencia de otros dos

Ejercicio. Cuadrado equivalente a una figura dada

1. Calcula gráficamente un cuadrado de área equivalente al área sombreada

Calculamos el área del polígono y le restamos el área de la circunferencia inscrita mediante el Teorema de Pitágoras, según hemos visto en este tema.

Ejercicio de equivalencias
Ejercicio de equivalencias

Contenido relacionado

Transformaciones geométricas en el plano

Son operaciones geométricas que nos permiten obtener una figura nueva a partir de otra dada, estableciéndose correspondencias entre las figuras y sus elementos (puntos, rectas…) Denominaremos elementos dobles o invariantes

Igualdad, traslación, simetría y giro

Igualdad e identidad Son figuras iguales las que tienen ángulos y lados iguales y dispuestos en el mismo orden (ej: simetría axial). Son idénticas cuando coinciden todos sus elementos al

Transformaciones geométricas. Semejanza y escalas

Semejanza Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación de proporcionalidad que existe entre segmentos homólogos. K=A’B’/AB De

Geometría proyectiva. Homología y afinidad

La geometría proyectiva es una rama de la geometría que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se mantienen invariantes bajo proyecciones. Se basa en el concepto de la

Recursos o ejercicios para este tema

Ejercicio de equivalencias dibujo técnico
5/5
Ejercicio de equivalencia paso a paso con Mongge. Cuadrado equivalente a un polígono estrellado
5/5
Técnica: Software
Al finalizar este Domestika Basics de AutoCAD, habrás aprendido todo lo necesario para crear tus proyectos arquitectónicos como un profesional.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, ingenieros y cualquier persona que quiera empezar a modelar espacios en 3D y dar sus primeros pasos en el software líder de la metodología BIM, Revit. Al finalizar habrás creado un proyecto de vivienda completo, con todas las fases de diseño y modelación en Revit.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, diseñadores, fotógrafos, animadores y creativos en general con un nivel básico de 3D e interesados en la Arquitectura, la Fotografía y el Interiorismo. Al final del curso elaborarás una imagen del interior de una vivienda unifamiliar situada en un bosque.
5/5
Técnica: Software
Un excelente curso de Adobe Photoshop avanzado, muy fácil de entender y completamente recomendado para aquellos que deseen profundizar en esta excelente herramienta o quieran explorar este mundo de la edición y diseño digital.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a fotógrafos, diseñadores, ilustradores, concept artists, artistas de la industria del cine, los videojuegos o la publicidad y cualquier creativo que esté buscando desarrollar nuevas habilidades de retoque digital con Photoshop.
5/5
Técnica: Software
En este pack de 8 cursos aprenderás a manejar Revit desde cero para desarrollar tus propios proyectos arquitectónicos. Descubrirás las herramientas para crear muros, suelos, cubiertas y estructuras, además de planos y presentaciones realistas.
5/5
Técnica: Software
Un pack de 7 cursos donde aprenderás a manejar todas las herramientas, tips y atajos necesarios para realizar un trabajo profesional. Los recursos del curso y páginas recomendadas para conseguir referencias para artistas son muy útiles.
5/5
Técnica: Software
Un pack de 5 cursos introductorios para aprender Adobe Photoshop. No son necesarios conocimientos previos de ningún tipo, por lo que está dirigido a cualquier persona interesada en dar sus primeros pasos en el retoque de fotografías y la creación de imágenes digitales.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a ilustradores, diseñadores y cualquier persona interesada en el concept art, especialmente aplicado a videojuegos AAA. Aprenderás a realizar un escenario concept art con acabado profesional para un videojuego AAA a partir de un briefing real.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a profesionales de la arquitectura, estudiantes, artistas y a cualquier persona interesada en crear visualizaciones arquitectónicas. Crearás un modelo detallado de una casa vacacional.

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​