Potencia, eje y centro radical

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Las rectas tangentes o secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P exterior, quedan interceptadas por la circunferencia según segmentos en los que siempre se verifica que: PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT2 = cte.

A este producto constante se le denomina POTENCIA del punto P respecto a la circunferencia. Cuando el punto es interior la potencia es negativa. FIG. 1.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Eje radical

Se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias. (Cada punto tendrá diferente potencia que el contiguo pero igual respecto a las dos circunferencias)

El eje radical es siempre perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias.

Eje radical de dos circunferencias secantes

Los puntos comunes (X e Y) de las dos circunferencias secantes tienen igual potencia respecto a las mismas luego pertenecen al eje radical. Uniendo X e Y obtenemos dicho eje, eje que es efectivamente perpendicular al segmento O1O2. FIG. 2

La potencia de los puntos X e Y respecto de las circunferencias es NULA. Podemos comprobar como desde un punto P del eje radical se cumple:

PA x PB = PC x PD

Eje radical de dos circunferencias secantes
Eje radical de dos circunferencias secantes

Eje radical de dos circunferencias tangentes

La recta tangente común es el eje radical de las dos circunferencias, y como podemos comprobar, es perpendicular al segmento unión de centros O1O2. FIG. 3

Eje radical de dos circunferencias tangentes
Eje radical de dos circunferencias tangentes

Eje radical de dos circunferencias exteriores

Para calcularlo trazamos una circunferencia auxiliar O3 que corte a ambas. Los ejes radicales de cada una de las circunferencias dadas con la auxiliar se cortan en X, el cual pertenece al eje radical de las dos circunferencias dadas O1,O2 desde donde trazamos una perpendicular al segmento unión de centros O1O2.  FIG. 4
Eje radical de dos circunferencias exteriores
Eje radical de dos circunferencias exteriores

Centro radical de tres circunferencias dadas

Se llama centro radical de tres circunferencias dadas al punto de intersección de sus ejes radicales correspondientes. Basta para obtenerlo trazar dos de los ejes radicales de las tres circunferencias que se obtienen según los métodos descritos. Figura 5

Centro radical de tres circunferencias dadas
Centro radical de tres circunferencias dadas
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