Transformaciones geométricas: Homotecia

Es una transformación en la que a cada punto (A, B) se le hace corresponder otro (A’, B’) de tal forma que ambos están alineados con otro fijo O, llamado centro de homotecia y donde se verifica que OA’/OA=K, siendo K la razón de homotecia. (Fig. 28)

Una homotecia queda determinada por su centro y un par de puntos homotéticos, por el centro y la razón de homotecia, o por dos figuras homotéticas.

La razón entre 2 segmentos homotéticos es siembre constante e igual a la razón de homotecia K: A’B’/AB=K

Las rectas homotéticas son paralelas si no pasan por el centro de homotecia. Las que si pasan se transforman en sí mismas y son por tanto rectas dobles.

Los ángulos de una figura transformada no varían, las magnitudes lineales si lo hacen en una proporción igual a K.

Homotecia directa

Cuando la razón es positiva, la homotecia es directa y los puntos homotéticos están situados a un mismo lado del centro O. Se pueden dar tres casos (Fig. 28):

  • OA’/OA=K>1 (ampliación)
  • OA’/OA=K=1 (igualdad)
  • OA’/OA=K<1 (reducción)

Homotecia inversa

Cuando la razón es negativa, la homotecia es directa y los puntos homotéticos están situados a ambos lados del centro O. Se pueden dar tres casos (Fig. 29):

  • OA’/OA=K>-1 (ampliación)
  • OA’/OA=K=-1 (igualdad)
  • OA’/OA=K<-1 (reducción)
Homotecia directa e inversa.
Homotecia directa e inversa.

Representación de figuras homotéticas directas

Figura homotética de ABC, siendo O el centro de homotecia y K=4/3

Unimos O con los vértices ABC de la figura.

K=OA’/OA=4/3. Dividimos en 3 partes el segmento OA y situamos A’ a 4 unidades así obtenidas.

Trazamos paralelas a los lados de ABC por A’ para obtener B’ y C’. (Fig. 30)

Homotecia directa
Homotecia directa
Figura homotética de ABC, siendo O el centro de homotecia y K=1/2

Procedemos de igual modo pero ahora K=OA’/OA=1/2. Dividimos en 2 partes el segmento OA y situamos A’ a 1 unidad del centro.  (Fig. 31)

Figura homotética de ABC, siendo O el centro de homotecia y K=2

Procedemos de igual modo pero ahora K=OA’/OA=2/1. Dividimos en 1 parte el segmento OA y situamos A’ a 2 unidades del centro. (Fig. 32)

Homotecias directas
Homotecias directas

Representación de figuras homotéticas inversa

En este caso, los pares de puntos homotéticos están a ambos lados del centro de homotecia.

Figura homotética de ABCD, siendo O el centro de homotecia y K= -4/3

Procedemos de igual modo pero ahora K=OA’/OA=-4/3. Dividimos en 3 partes el segmento OA y situamos A’ a 4 partes del centro, en sentido contrario. Obtenido A’ trazamos las rectas paralelas hasta cortar a las rectas dobles correspondientes. (Fig. 33)

Homotecia inversa -4/3
Homotecia inversa -4/3
Figura homotética de ABCD, siendo O el centro de homotecia y K= -1

Procedemos de igual modo pero ahora K=OA’/OA=-1. Dividimos en 1 parte el segmento OA y situamos A’ a 1 parte del centro, en sentido contrario. Obtenido A’ trazamos las rectas paralelas hasta cortar a las rectas dobles correspondientes (Fig. 34). Este caso es idéntico a una simetría central y a un giro de 180º.

Homotecia inversa K=-1
Homotecia inversa K=-1

Centro de homotecia de dos circunferencias

Dos circunferencias son siempre homotéticas respecto dos centros, uno centro de homotecia directa y otro centro de homotecia inversa.

Centro de homotecia directa de dos circunferencias
Centro de homotecia directa de dos circunferencias

Para hallar estos centros, se trazan dos radios paralelos y de igual sentido en el caso del centro de homotecia directo, y de distinto sentido en el caso del centro de homotecia inverso. Unimos los extremos de dichos radios paralelos y, donde esta recta corte al segmento unión de centros, tenemos los centros buscados.

Centro de homotecia inversa de dos circunferencias
Centro de homotecia inversa de dos circunferencias

La razón de homotecia vendrá determinada por el cociente entre los radios de ambas circunferencias, situando el signo adecuado según se trate de homotecia directa o inversa (Figuras 35 y 36).

Recta tangentes comunes exteriores
Recta tangentes comunes exteriores

Desde el centro de homotecia directa e inversa podemos trazar las tangentes comunes exteriores e interiores respectivamente, a ambas circunferencias. (Figuras 37 y 38).

Recta tangentes comunes interiores
Recta tangentes comunes interiores

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