Curvas cónicas. Hipérbola

Es la hipérbola una curva cónica, abierta, plana y de dos ramas definida como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante, e igual a la magnitud del eje mayor.

• Como la elipse, tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, uno de ellos denominado eje mayor o real (AB), de magnitud 2a, siendo -a- la distancia desde un vértice al centro de la curva o intersección de los dos ejes. El otro eje se denomina eje imaginario. (Para calcular los extremos del eje imaginario, tendremos en cuenta que la distancia entre un extremo del eje mayor y otro del eje imaginario es siempre c, la mitad de la distancia focal).
• Los vértices son los puntos de intersección de la curva con el eje mayor.
• Se denomina distancia focal a la distancia comprendida entre los dos focos (F₁ -F₂), su valor es 2c, siendo c la distancia de un foco al centro de la hipérbola. Los focos están sobre el eje mayor.
• Se denominan radios vectores (r₁ y r₂) a los segmentos F₁ P y F₂ P, siendo P un punto de la curva. Su diferencia es constante para cualquier punto de la curva e igual a la magnitud del eje mayor (r₁ – r₂ = cte =2a).
• Como en la elipse, circunferencias focales son aquellas que con centro en los focos, tienen de radio la magnitud del eje mayor 2a y circunferencia principal la que tiene su centro coincidente con el centro O de la hipérbola y 2a de diámetro.
• Se denominan asíntotas las rectas tangentes a la curva en el infinito, pasan por el centro M y cuando forman 45º con los ejes, la hipérbola se denomina equilátera. Son dos las asíntotas y tangentes cada una de ellas a las dos ramas simultáneamente. Se calculan uniendo el centro de la hipérbola con los puntos de intersección (x e y) de 2 rectas normales al eje mayor trazadas por los vértices, con una circunferencia de centro O y diámetro F1F2.
• El centro de curvatura en el vértice, está en la intersección del eje mayor y las normales trazadas a las asíntotas por los puntos de intersección (x e y) de estas con una circunferencia de centro M y diámetro F1F2. Figura 1

Graduamos el eje mayor arbitrariamente a partir de uno de los focos y en sentido opuesto al centro obteniendo 1, 2, 3…

Trazamos circunferencias con centro en F1 y radios P1A, P2A, P3A… y circunferencias de centro F2 y radios P1B, P2B, P3B…, los puntos de intersección de circunferencia correspondientes, son puntos de la hipérbola.

Operamos de igual modo para la rama izquierda de la curva que debe ser simétrica de la derecha. Figura 2

Conocido los vértices y el punto P de la hipérbola, trazamos un paralelogramo rectángulo que pase por P y B, dividiendo sus lados XP y YP en idéntico número arbitrario de partes iguales.

Unimos con el vértice opuesto A las divisiones efectuadas en el segmento YP y con el vértice B las del segmento XP, las intersecciones correspondientes determinan puntos de la curva.

Trazamos el resto de la rama derecha de igual modo a partir de un punto P’ simétrico del anterior respecto al eje mayor y la rama izquierda de la hipérbola por simetría. Figura 3

Como en la elipse, el punto simétrico (X) de uno de los focos (F2), respecto de la recta tangente, está sobre la intersección del radio vector que une el punto P de tangencia dado con el otro foco (F1) y la circunferencia focal trazada con centro en dicho foco.

La recta tangente es por tanto bisectriz de los radios vectores que concurren en P o mediatriz del segmento X-F2. Figura 4

Como en la elipse, trazamos una circunferencia auxiliar de centro en P dado, que pase por uno de los focos (F2), que cortará a la circunferencia focal (radio AB) trazada con centro en el otro foco (F1) en X e Y, que como sabemos son los puntos simétricos del foco F2 respecto de las rectas tangentes.

Trazamos las mediatrices de los segmentos X-F2 e Y-F2 y obtenemos las rectas tangentes buscadas. Los puntos de tangencia se encuentran en la intersección de la curva y la prolongación de los segmentos X-F1 e Y-F1. Figura 5

Trazamos la circunferencia focal de centro en uno de los focos (F1) y por el otro foco una recta perpendicular a la dirección r dada que cortará a la circunferencia en los puntos X e Y, simétricos de F2 si tomamos como ejes de simetría las rectas tangentes solución. Las mediatrices de los segmentos X-F2 e Y-F2 son las tangentes buscadas.

Los puntos de tangencia se encuentran intersección de la hipérbola y las prolongaciones de los segmentos X-F1 e Y-F1. Figura 6