Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas por puntos exteriores

Circunferencias tangentes a dos circunferencias. Problemas de Apolonio IV.

29. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas (CCP)

Dadas las circunferencias O, O’ y el punto P.

  • Determinamos el centro de homotecia (directo Hd para las dos primeras soluciones e inverso Hi para las dos restantes) de las dos circunferencias dadas O, O’. Trazamos para ello radios paralelos en ambas OW y O’W’ (en el mismo sentido para Hd, FIG. 36 y opuesto para Hi, FIG. 37).
  • El centro de homotecia es centro de inversión en circunferencias exteriores a él, los puntos de estas son inversos y homotéticos entre sí según se tomen como vimos en inversión.
  • Las circunferencias que contengan a un par de puntos inversos (A, A’), son dobles en la inversión. Sus puntos, tienen sus dobles en ella misma.
  • Los puntos de tangencia de una circunferencia tangente a dos inversas son inversos entre sí.
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas. Centro de homotecia directo. Figura 36

Construcción:

  • Determinado el centro de homotecia H+, se traza una circunferencia auxiliar doble que contenga a P (A, A’ P), y se determina el inverso de P, P’ prolongando el segmento HP hasta cortar a la doble auxiliar.
  • La circunferencia auxiliar determina el eje radical A’B’, es eje radical de todas las circunferencias que pasen por A’B’, como lo es O’ y O1 (auxiliar). (Secantes a O’)
  • Las circunferencias tangentes a O y O’ buscadas son dobles de la inversión y tienen que pasar por P luego también pasarán por P’. Tendrán su centro por tanto en la mediatriz de PP’.
  • Todas las circunferencias que pasen por PP’ tendrán PP’ como eje radical. Trazamos dicho eje radical que se corta con el anterior en M, centro radical de las circunferencias secantes (y tangentes) a O’ que tengan su centro en el segmento O’O1, y que pasen por PP’ y es centro radical por tanto de las circunferencias buscadas.
  • Desde M trazamos una recta tangentes a O’, determinando T1’ y obteniendo así la potencia y con ella T2’. Las circunferencias tangentes buscadas tienen sus puntos de tangencia con O’ en T1’ y T2’ pues en estos puntos la potencia de M es cte. para O, O1 y O2.
  • Los centros O1 y O2 buscados están en la intersección de T1’O’ y T2’O’ con la mediatriz PP’.
  • Los puntos de tangencia en O, se pueden calcular uniendo O1-O y O2-O hasta cortar a esta, o bien calculando los inversos de T1’ y T2’ uniéndolos con H+ hasta cortar a la circunferencia O en T1 y T2.

Tenemos cuatro soluciones en total, dos para cada centro de homotecia. Figura 36 para H+ y figura 37 para H-.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas. Centro de homotecia inverso. Figura 37

30. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias (CCP).

Dadas O y O’, y conocido T, punto de tangencia en O’ de las circunferencias tangentes a O y O’.

Calculamos el centro de homotecia directo e inverso de ambas circunferencias Hd y Hi y calculamos los inversos de T para cada centro en O, T1 y T2 respectivamente y obtenemos los puntos de tangencia en O de las dos circunferencias buscadas, pues sabemos que los puntos de tangencia de una circunferencia con dos inversas son entre sí o inversos por ser doble la tangente trazada.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias. Centro de homotecia directo. Figura 39

Los centros O1 y O2 buscados deben estar en línea recta con los centros de las circunferencias a las que son tangentes y sus respectivos puntos de tangencia. Obtendremos por tanto O1 en la intersección de O’T con OT1 y O2 en la intersección de O’T con OT2. FIG. 38 y 39

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias. Centro de homotecia inverso
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias. Centro de homotecia inverso. Figura 39

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