Curvas cónicas. Parábola

Definición y propiedades de la parábola

Es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama.

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco y de una recta denominada directriz.

Elementos

Además del foco F y la directriz, cuenta con un eje de simetría E, normal a la directriz y que contiene al foco.

Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del foco y la directriz.

Se denomina Parámetro P a la longitud de la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz. El semiparámetro mide lo mismo que longitud hay de F a la directriz.

Las circunferencias focal y principal tienen radio infinito por lo que se convierten en rectas, la circunferencia focal coincide con la directriz y la circunferencia principal coincide con la recta tangente en V a la parábola.

El centro de curvatura en el vértice (Cv) es el centro de la circunferencia osculatriz que pasa por V,  Cv está a igual distancia de F que F de V. Tomando varios puntos muy próximos de la curva, se denomina circunferencia osculatriz a la que pasa por ellos. Figura 1

 

Elementos de la parábola
Elementos de la parábola

Trazado de parábolas

Conociendo la directriz y el foco

En cualquiera de los dos métodos descritos se verifica que cualquier punto de la curva equidista del foco y del eje.

Primer método. Por puntos o radios vectores

Dada la directriz D y el foco F, dibujamos el eje (perpendicular a D por F) y determinamos V (vértice y punto de la curva) en el punto medio del segmento FB (B es el punto de intersección entre el eje y la directriz).

Graduamos el eje a partir de F y en sentido opuesto a V en cualquier número de partes iguales o no, por donde trazamos normales al eje.

Con centro en F y radio 1B trazamos una circunferencia que corta en 1’ y 1”, puntos de la parábola, la normal correspondiente a 1.

Procedemos de igual modo para los puntos restantes incluido el propio F y unimos los puntos así obtenidos a mano alzada. Figura 2

Trazado de la Parábola conociendo la directriz y el foco por puntos
Trazado de la Parábola conociendo la directriz y el foco por el método de radios vectores o ‘por puntos’

Segundo método

Determinamos V y por V trazamos la tangente a la curva («circunferencia principal»-paralela a la directriz), llevando sobre ella el semiparámetro en A.

Trazamos la mediatriz del segmento AF y obtenemos el punto O sobre la prolongación del eje. Trazamos, con centro en O una circunferencia de radio OF que corta al eje y determina el punto C.

Graduamos el eje en partes iguales (1, 2, 3…), por donde trazamos normales al eje.

Dibujamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3…, estas, cortan a la tangente trazada por V a la curva, en los puntos 1a, 2a, 3a…. desde donde trazamos paralelas al eje hasta cortar a las rectas normales al eje correspondientes en 1’, 2’, etc. puntos de la parábola.

Trazamos la segunda rama por el mismo método o por simetría, dibujamos a mano alzada o con plantilla de curvas. Figura 3

Trazado de la parábola conociendo la directriz y el foco. Segundo método
Trazado de la parábola conociendo la directriz y el foco. Segundo método

Conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos

Conocido el eje E, el vértice V y un punto P de la curva, trazamos por P y V perpendiculares al eje y por P una paralela, obtenemos de este modo el paralelogramo VAPB, trazamos otro paralelogramo simétrico de este respecto al eje, CMVA.

Dividimos en partes iguales los segmentos paralelos al eje y en el doble número de partes, también iguales, el segmento BC, las primeras divisiones las unimos con V y por el resto trazamos paralelas al eje.

Donde se cortan las correspondientes (ver el dibujo) obtenemos puntos de la curva. Figura 4

Trazado de la parábola conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos
Trazado de la parábola conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos

Trazado de rectas tangentes a la parábola

Por un punto de la curva

Uniendo el punto A dado con el foco y trazando desde él a la directriz una perpendicular, obtenemos el ángulo FAP, su bisectriz es la recta tangente buscada en A.

El punto P perteneciente a la directriz (circunferencia focal en la parábola, de radio infinito) es siempre simétrico de F respecto de la tangente trazada, como sucedía en la elipse (la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las rectas tangentes trazadas a la curva).

Conociendo el foco F, el punto de tangencia A y la directriz D podemos trazar la tangente, pues P está en el pié de la normal trazada a la directriz desde A (en la elipse P está en la intersección de la circunferencia focal con la prolongación del radio vector que contiene al punto A y al propio centro de la circunferencia focal). Figura 5

Rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva
Rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva

Desde un punto exterior

Como en la elipse, trazamos una circunferencia de centro en el punto exterior A dado y radio AF que determina X e Y sobre la circunferencia focal (directriz en la parábola).

Por X e Y trazamos perpendiculares a la directriz (buscando lo que sería el centro de la circunferencia focal, en el infinito en el caso de la parábola y normal a la directriz), y obtenemos en su intersección con la curva (o con las propias tangentes aún no dibujadas) los puntos T1 y T2 de tangencia.

Las mediatrices de XF e YF son las tangentes buscadas y X e Y son puntos simétricos del foco F respecto de las tangentes trazadas. Figura 6

Rectas tangentes a la parábola. Desde un punto exterior
Rectas tangentes a la parábola. Desde un punto exterior

Paralelas a una dirección dada

Dada la dirección r, trazamos por el foco F una recta perpendicular a dicha recta r que corta en X a la directriz D (circunferencia focal).

Unimos el punto X con el «centro de la circunferencia focal» (en el infinito, luego trazamos por X una perpendicular a la directriz) que corta en T, punto de tangencia, a la curva.

Trazamos la mediatriz del segmento FX que será la tangente a la curva, paralela a la dirección dada, en el punto T obtenido. Figura 7

Rectas tangentes a la parábola. Paralela a una dirección dada
Rectas tangentes a la parábola. Paralela a una dirección dada
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