Parábola

Parábola

Definición y propiedades.

Es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama.

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco y de una recta denominada directriz.

Elementos de la parábola

Elementos de la parábola

Elementos.

  • Además del foco F y la directriz, cuenta con un eje de simetría E, normal a la directriz y que contiene al foco.
  • Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del foco y la directriz.
  • Se denomina Parámetro P a la longitud de la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz. El semiparámetro mide lo mismo que longitud hay de F a la directriz.
  • Las circunferencias focal y principal tienen radio infinito por lo que se convierten en rectas, la circunferencia focal coincide con la directriz y la circunferencia principal coincide con la recta tangente en V a la parábola.
  • El centro de curvatura en el vértice (Cv) es el centro de la circunferencia osculatriz que pasa por V,  Cv está a igual distancia de F que F de V. Tomando varios puntos muy próximos de la curva, se denomina circunferencia osculatriz a la que pasa por ellos.

Trazado de parábolas

A. Conociendo la directriz y el foco.

En cualquiera de los dos métodos descritos se verifica que cualquier punto de la curva equidista del foco y del eje.

1. Primer método. Por puntos.

Dada la directriz D y el foco F, dibujamos el eje (perpendicular a D por F) y determinamos V (vértice y punto de la curva) en el punto medio del segmento FB (B es el punto de intersección entre el eje y la directriz). Graduamos el eje a partir de F y en sentido opuesto a V en cualquier número de partes iguales o no, por donde trazamos normales al eje. Con centro en F y radio 1B trazamos una circunferencia que corta en 1’ y 1”, puntos de la parábola, la normal correspondiente a 1. Procedemos de igual modo para los puntos restantes incluido el propio F y unimos los puntos así obtenidos a mano alzada.

2. Segundo método.

Determinamos V y por V trazamos la tangente a la curva (“circunferencia principal”-paralela a la directriz), llevando sobre ella el semiparámetro en A. Trazamos la mediatriz del segmento AF y obtenemos el punto O sobre la prolongación del eje. Trazamos, con centro en O una circunferencia de radio OF que corta al eje y determina el punto C. Graduamos el eje en partes iguales (1, 2, 3…), por donde trazamos normales al eje. Dibujamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3…, estas, cortan a la tangente trazada por V a la curva, en los puntos 1a, 2a, 3a…. desde donde trazamos paralelas al eje hasta cortar a las rectas normales al eje correspondientes en 1’ y 1”, 2’ y 2” etc.. puntos de la parábola. Trazamos a mano alzada o con plantilla de curvas.

B. Conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos.

Conocido el eje E, el vértice V y un punto P de la curva, trazamos por P y V perpendiculares al eje y por P una paralela, obtenemos de este modo el paralelogramo VAPB, trazamos otro paralelogramo simétrico de este respecto al eje, CMVA. Dividimos en partes iguales los segmentos paralelos al eje y en el doble número de partes, también iguales, el segmento BC, las primeras divisiones las unimos con V y por el resto trazamos paralelas al eje. Donde se cortan las correspondientes (ver el dibujo) obtenemos puntos de la curva.

Trazado de parábolas Conociendo la directriz y el foco, 2 métodos, y conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva.

Trazado de parábolas Conociendo la directriz y el foco, 2 métodos, y conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva.

Trazado de rectas tangentes a la parábola.

Por un punto A de la curva.

Uniendo el punto A dado con el foco y trazando desde él a la directriz una perpendicular, obtenemos el ángulo FAP, su bisectriz es la recta tangente buscada en A.

El punto P perteneciente a la directriz (circunferencia focal en la parábola, de radio infinito) es siempre simétrico de F respecto de la tangente trazada, como sucedía en la elipse (la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las rectas tangentes trazadas a la curva). Conociendo el foco F, el punto de tangencia A y la directriz D podemos trazar la tangente, pues P está en el pié de la normal trazada a la directriz desde A (en la elipse P está en la intersección de la circunferencia focal con la prolongación del radio vector que contiene al punto A y al propio centro de la circunferencia focal).

Desde un punto exterior.

Como en la elipse, trazamos una circunferencia de centro en el punto exterior A dado y radio AF que determina X e Y sobre la circunferencia focal (directriz en la parábola), Por X e Y trazamos perpendiculares a la directriz (buscando lo que sería el centro de la circunferencia focal, en el infinito en el caso de la parábola y normal a la directriz), y obtenemos en su intersección con la curva (o con las propias tangentes aún no dibujadas) los puntos T1 y T2 de tangencia. Las mediatrices de XF e YF son las tangentes buscadas y X e Y son puntos simétricos del foco F respecto de las tangentes trazadas.

Trazado de rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva. Desde un punto exterior. Paralelas a una dirección dada.

Trazado de rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva. Desde un punto exterior. Paralelas a una dirección dada.

Paralelas a una dirección dada.

Dada la dirección r, trazamos por el foco F una recta perpendicular a dicha recta r que corta en X a la directriz D (circunferencia focal). Unimos el punto X con el “centro de la circunferencia focal” (en el infinito, luego trazamos por X una perpendicular a la directriz) que corta en T, punto de tangencia, a la curva. Trazamos la mediatriz del segmento FX que será la tangente a la curva, paralela a la dirección dada, en el punto T obtenido.

Tags: , ,

Uso de cookies

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.

ACEPTAR
Aviso de cookies