Curvas cónicas. Parábola

Definición y propiedades de la parábola

Es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama.

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco y de una recta denominada directriz.

Elementos

Además del foco F y la directriz, cuenta con un eje de simetría E, normal a la directriz y que contiene al foco.

Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del foco y la directriz.

Se denomina Parámetro P a la longitud de la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz. El semiparámetro mide lo mismo que longitud hay de F a la directriz.

Las circunferencias focal y principal tienen radio infinito por lo que se convierten en rectas, la circunferencia focal coincide con la directriz y la circunferencia principal coincide con la recta tangente en V a la parábola.

El centro de curvatura en el vértice (Cv) es el centro de la circunferencia osculatriz que pasa por V,  Cv está a igual distancia de F que F de V. Tomando varios puntos muy próximos de la curva, se denomina circunferencia osculatriz a la que pasa por ellos. Figura 1

 

Elementos de la parábola
Elementos de la parábola

Trazado de parábolas

Trazado de la parábola conociendo la directriz y el foco

En cualquiera de los dos métodos descritos se verifica que cualquier punto de la curva equidista del foco y del eje.

Primer método. Por puntos o radios vectores

Dada la directriz D y el foco F, dibujamos el eje (perpendicular a D por F) y determinamos V (vértice y punto de la curva) en el punto medio del segmento FB (B es el punto de intersección entre el eje y la directriz).

Graduamos el eje a partir de F y en sentido opuesto a V en cualquier número de partes iguales o no, por donde trazamos normales al eje.

Con centro en F y radio 1B trazamos una circunferencia que corta en 1’ y 1”, puntos de la parábola, la normal correspondiente a 1.

Procedemos de igual modo para los puntos restantes incluido el propio F y unimos los puntos así obtenidos a mano alzada. Figura 2

Trazado de la Parábola conociendo la directriz y el foco por puntos
Trazado de la Parábola conociendo la directriz y el foco por el método de radios vectores o ‘por puntos’

Segundo método

Determinamos V y por V trazamos la tangente a la curva («circunferencia principal»-paralela a la directriz), llevando sobre ella el semiparámetro en A.

Trazamos la mediatriz del segmento AF y obtenemos el punto O sobre la prolongación del eje. Trazamos, con centro en O una circunferencia de radio OF que corta al eje y determina el punto C.

Graduamos el eje en partes iguales (1, 2, 3…), por donde trazamos normales al eje.

Dibujamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3…, estas, cortan a la tangente trazada por V a la curva, en los puntos 1a, 2a, 3a…. desde donde trazamos paralelas al eje hasta cortar a las rectas normales al eje correspondientes en 1’, 2’, etc. puntos de la parábola.

Trazamos la segunda rama por el mismo método o por simetría, dibujamos a mano alzada o con plantilla de curvas. Figura 3

Trazado de la parábola conociendo la directriz y el foco. Segundo método
Trazado de la parábola conociendo la directriz y el foco. Segundo método

Trazado de la parábola conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos

Conocido el eje E, el vértice V y un punto P de la curva, trazamos por P y V perpendiculares al eje y por P una paralela, obtenemos de este modo el paralelogramo VAPB, trazamos otro paralelogramo simétrico de este respecto al eje, CMVA.

Dividimos en partes iguales los segmentos paralelos al eje y en el doble número de partes, también iguales, el segmento BC, las primeras divisiones las unimos con V y por el resto trazamos paralelas al eje.

Donde se cortan las correspondientes (ver el dibujo) obtenemos puntos de la curva. Figura 4

Trazado de la parábola conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos

Trazado de la parábola conociendo el vértice, el eje y un punto de la curva. Por haces proyectivos

Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos. Primer método

En este caso obtenemos primero el vértice de la parábola V, situado en el punto medio de la perpendicular trazada del foco a la directriz. Obtenemos un punto de la curva B por radios vectores (u obteniendo un punto de tangencia desde cualquier punto exterior) y procedemos como en el ejercicio anterior. Figura 4-2

Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos
Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos

Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos. Segundo método

Dibujamos el vértice V en el punto medio de la perpendicular trazada a la directriz desde el foco y obtenemos un par de puntos simétricos de la curva por radios vectores (puntos A’ y A» donde el arco AB de centro en F se corta con la perpendicular trazada por A, punto arbitrario).

Dividimos A-A’ y AV en el mismo número de partes iguales.

Unimos A» con las divisiones del eje y trazamos perpendiculares a la directriz por 1′, 2′ y 3′. Donde se cortan las correspondientes tendremos los puntos de la curva. (Figura 4b). Procedemos de igual manera con la otra rama de la parábola.

Conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos
Conociendo el foco y la directriz. Por haces proyectivos

Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por envolventes

Tercer método

Tomamos puntos arbitrarios de la directriz (1”, 2”…) y los unimos con el foco. Trazamos mediatrices de los segmentos F-1”, F-2”… que cortarán a las perpendiculares trazadas a la directriz por los puntos 1”, 2”… obteniendo así puntos de la curva 1, 2, 3… que no son sino puntos te tangencia. Obsérvese que los puntos medios de los segmentos (1’, 2’…) coinciden en la circunferencia principal. Figura 4C.

Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por envolventes
Trazado de la parábola conociendo el foco y la directriz. Por envolventes

Trazado de rectas tangentes a la parábola

Trazado de tangentes por un punto de la parábola

Uniendo el punto A dado con el foco y trazando desde él a la directriz una perpendicular, obtenemos el ángulo FAP, su bisectriz es la recta tangente buscada en A.

El punto P perteneciente a la directriz (circunferencia focal en la parábola, de radio infinito) es siempre simétrico de F respecto de la tangente trazada, como sucedía en la elipse (la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las rectas tangentes trazadas a la curva).

Conociendo el foco F, el punto de tangencia A y la directriz D podemos trazar la tangente, pues P está en el pié de la normal trazada a la directriz desde A (en la elipse P está en la intersección de la circunferencia focal con la prolongación del radio vector que contiene al punto A y al propio centro de la circunferencia focal). Figura 5

Rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva
Rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva

Trazado de tangentes a la parábola desde un punto exterior

Como en la elipse, trazamos una circunferencia de centro en el punto exterior A dado y radio AF que determina X e Y sobre la circunferencia focal (directriz en la parábola).

Por X e Y trazamos perpendiculares a la directriz (buscando lo que sería el centro de la circunferencia focal, en el infinito en el caso de la parábola y normal a la directriz), y obtenemos en su intersección con la curva (o con las propias tangentes aún no dibujadas) los puntos T1 y T2 de tangencia.

Las mediatrices de XF e YF son las tangentes buscadas y X e Y son puntos simétricos del foco F respecto de las tangentes trazadas. Figura 6

Rectas tangentes a la parábola. Desde un punto exterior
Rectas tangentes a la parábola. Desde un punto exterior

Trazado de tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada

Dada la dirección r, trazamos por el foco F una recta perpendicular a dicha recta r que corta en X a la directriz D (circunferencia focal).

Unimos el punto X con el «centro de la circunferencia focal» (en el infinito, luego trazamos por X una perpendicular a la directriz) que corta en T, punto de tangencia, a la curva.

Trazamos la mediatriz del segmento FX que será la tangente a la curva, paralela a la dirección dada, en el punto T obtenido. Figura 7

Rectas tangentes a la parábola. Paralela a una dirección dada
Rectas tangentes a la parábola. Paralela a una dirección dada

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