Sistema diédrico. Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando se cortan o se cruzan formando un ángulo recto.
Dos planos o una recta y un plano son perpendiculares entre sí cuando se cortan formando un ángulo recto.

En sistema diédrico y en general en los sistemas que utilizan proyecciones cilíndricas, la perpendicularidad no se conserva entre las proyecciones homónimas de las rectas ni entre las trazas correspondientes de los planos. 

Sin embargo en sistema diédrico sí se conserva la perpendicularidad entre las trazas de un plano y las proyecciones correspondientes de las rectas perpendiculares a este. Veamos por qué.

Teorema de las tres perpendiculares

Sabemos que 2 rectas R y S perpendiculares entre sí, muestran sus proyecciones cilíndricas también perpendiculares entre sí cuando una de estas rectas es paralela o está contenida en el mencionado plano.

Por otro lado, es evidente que una recta R normal a un plano P es perpendicular a todas las rectas de este plano.

El Teorema de las tres perpendiculares nos dice que ‘una recta R normal a un plano P muestra su proyección cilíndrica r sobre un segundo plano Q normal a la traza Pt existente entre los planos’.

Al ser R normal a P lo es a todas sus rectas y por tanto a Pt, traza entre Q y P. Por otra parte, Pt es una recta de Q por lo que la proyección r de R sobre Q debe ser perpendicular a la traza Pt.

Extrapolando este teorema al sistema diédrico, objeto de nuestro estudio, podemos comprender como efectivamente, la perpendicularidad entre las trazas y las proyecciones homónimas de planos y rectas normales entre sí, se conserva. Fig. 9, 10 y 11.

Teorema de las tres perpendiculares.
Teorema de las tres perpendiculares.

Perpendicularidad entre recta y plano

Al conservarse la perpendicularidad entre las trazas del plano y las proyecciones homónimas de una recta, el trazado de rectas normales a planos o viceversa no ofrece dificultad.

Recta perpendicular a un plano, pasando por un punto

Para trazar una recta R normal a un plano Q dado por un punto determinado A bastará con pasar por la proyección vertical del punto A la proyección vertical de la recta r’ perpendicular a la traza Q’ vertical del plano y por la proyección horizontal del punto A la proyección horizontal r de la recta normal a la traza horizontal Q del plano.

Si el punto A pertenece al plano dado, será además punto de intersección entre la recta y el plano como sucede en la figura 12.

Plano perpendicular a una recta

Conteniendo un punto A cualquiera

Trazaremos por el punto A dado una recta auxiliar horizontal S colocando su proyección horizontal normal a la recta R dada, determinamos su traza vertical v’s y hacemos pasar por ella la traza vertical Q’ del plano buscado perpendicular a la proyección vertical de R. Desde el punto de intersección de la traza vertical Q’ con la línea de tierra dibujamos la traza horizontal del plano normal a la traza horizontal de R. Fig. 13

El plano Q dibujado es perpendicular a R pues muestra sus trazas perpendiculares a las correspondientes proyecciones de R y contiene al punto A dado pues este pertenece a una recta del plano, la recta auxiliar S tomada.

Conteniendo un punto A de la recta

Operamos de modo exactamente igual que en el ejercicio anterior. En este ejercicio el punto A es además punto de intersección entre la recta R y el plano Q. Fig. 14

Perpendicularidad entre recta y plano.
Perpendicularidad entre recta y plano.

Rectas perpendiculares entre sí

Debido a la deformación angular que se experimenta en toda proyección, no se conserva en sistema diédrico ortogonal la perpendicularidad entre las proyecciones homónimas de rectas perpendiculares.

Sabemos que toda recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas de este plano y sabemos también, por el teorema de las tres perpendiculares, que la perpendicularidad si se conserva entre las trazas y las proyecciones correspondientes de una recta y un plano perpendiculares entre sí. Dada la recta R, trazaremos en proyecciones diédricas una recta S normal a ella auxiliándonos de un plano Q perpendicular a la recta dada.

Obtenido el plano Q, bastará con trazar una recta S contenida en él. Son infinitas las soluciones posibles. Fig. 15

Rectas y planos, perpendiculares entre sí.
Rectas y planos, perpendiculares entre sí.

Planos perpendiculares entre sí

La perpendicularidad tampoco se conserva entre las trazas homónimas de planos perpendicularesUn plano P que contenga a una recta R perpendicular a otro plano Q es perpendicular también a Q.

De modo que y dado un plano Q le trazaremos una recta R perpendicular y haremos pasar por esta recta un plano P que será perpendicular a Q y por tanto el plano buscado. Hay infinitas soluciones. Fig. 16

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