Sistema diédrico. Superficies

Tabla de contenidos

Así como un punto al desplazarse genera una línea, una recta al desplazarse genera una superficie, esta recta se denomina generatriz. Entendemos como superficie a los infinitos puntos de contacto que un  cuerpo o volumen tiene con el espacio. Las superficies no tienen volumen propio,  son simplemente un límite.

Según sean las superficies, se denominan:

  • Superficies Geométricas, cuando responden a una ley geométrica determinada.
  • Superficies Regladas, cuando la generatriz es recta y no curva.

Las superficies pueden ser, a su vez

  • Superficie Desarrollable, cuando puede desplegarse y adosarse a un plano sin sufrir rotura ni deformación lineal.

Superficie Alabeada, cuando no puede desplegarse y adosarse a un plano sin sufrir rotura ni deformación lineal.

Superficies, clasificación

Superficies regladas

Entre las superficies regladas se pueden distinguir las Superficies radiadas. Son superficies geométricas y desarrollables. La ley geométrica que define a una superficie radiada es la siguiente: la generatriz desde un punto fijo propio o impropio, recorre la directriz. En el primer caso las generatrices concurren en el vértice de la superficie (cono, pirámide) y en el segundo la superficie no tiene vértice pues las generatrices son paralelas entre sí (prisma, cilindro). La directriz puede ser cualquier polígono cerrado regular o irregular o cualquier curva cerrada. (Triángulo, cuadrado, pentágono, circulo, elipse, etc.)

Dentro de las superficies radiadas podemos distinguir:

Superficies poliédricas piramidales

Poliedro significa varias caras. Estas superficies tienen de base o directriz un polígono, las generatrices concurren en el vértice, que es punto propio. El cuerpo que esta superficie envuelve es la  PIRÁMIDE. Fig.1

Superficies poliédricas prismáticas

La directriz es también un polígono pero las generatrices concurren en un punto impropio o del infinito, por lo que son paralelas entre sí. El cuerpo envuelto por esta superficie es el PRISMA. Fig. 2.

Superficies cónicas

La directriz es una curva y las generatrices concurren en un punto propio. En las superficies cónicas de revolución la curva directriz es una circunferencia y por tanto, las generatrices  mantienen un ángulo constante con el eje. El cuerpo envuelto por esta superficie es el CONO. Fig.3.

Superficies cilíndricas

La directriz es también una curva, las generatrices son paralelas entre sí y al eje por concurrir en un punto impropio o del infinito. Al igual que en las superficies cónicas se puede distinguir entre las superficies cilíndricas de revolución y las que no lo son, en las primeras se mantienen sus generatrices a una distancia constante del eje y en las segundas no. El cuerpo envuelto por esta superficie es el CILINDRO. Fig.4.

Superficies radiadas
Superficies radiadas

Superficies poliédricas

Se denominan así a las superficies que están formadas por múltiples caras planas (por ejemplo las superficies radiadas prismáticas y piramidales estudiadas). Si estas caras son todas iguales se denominan superficies poliédricas regulares y el cuerpo al que envuelven, Poliedro regular.

Poliedros regulares

Son cinco los poliedros regulares existentes, a saber:

  • TETRAEDRO: Tiene cuatro caras, estas son  triángulos equiláteros.
  • HEXAEDRO: Tiene seis caras, son cuadrados.
  • OCTAEDRO: Tiene ocho caras, son  triángulos equiláteros.
  • DODECAEDRO: Formado por doce caras pentagonales.
  • ICOSAEDRO: Formado por  veinte caras que son triángulos equiláteros.

La generatriz es una línea curva. Las superficies no regladas más importantes son las de revolución generadas por una curva que gira alrededor de una recta fija denominada eje y contenida en su plano.

Destacan en este grupo:

  • La esfera. Su generatriz es una circunferencia girando sobre uno de sus diámetros.
  • El toro. Su generatriz es una circunferencia girando sobre un eje que no contiene a su centro.
  • La escocia. Engendrada por dos o más arcos de circunferencia tangentes entre sí.

Cuerpos radiados

A continuación analizaremos los elementos y variables de los cuerpos radiados.

Prisma

El cuerpo cuya superficie está constituida lateralmente por una superficie prismática limitada en sus dos sentidos por dos planos secantes paralelos entre sí, se denomina prisma.

Elementos
  • Aristas laterales: pertenecen a la superficie prismática lateral.
  • Aristas básicas: producidas sobre la superficie lateral por los planos secantes.
  • Caras laterales: caras contenidas en la superficie lateral, son siempre cuadriláteros paralelogramos o trapecios según se trate de un prisma de bases paralelas o truncado respectivamente.
  • Bases: caras contenidas en los planos secantes, siendo polígonos de tantos lados como caras laterales tenga el Poliedro.
  • Altura: distancia a la que se encuentran sus bases paralelas.
  • Sección plana es el polígono que produce al ser cortado el prisma por un plano.
  • Sección recta: polígono producido cuando el plano secante es perpendicular a las aristas laterales.
Casos particulares
  • Prisma truncado: Cuando estos dos planos secantes no son paralelos entre sí.
  • Prisma recto: Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases.
  • Prisma oblicuo: Cuando las aristas laterales no son normales a las bases.
  • Prisma regular: Cuando el prisma, además de recto, tiene por bases un polígono regular.
  • Paralelepípedo: Sus bases son cuadriláteros paralelogramos.
  • Paralelepípedo rectángulo: Cuando el paralepípedo es recto.

Pirámide

La pirámide puede ser considerada como un prisma, en donde el punto de concurso de sus aristas es propio. De aquí que este cuerpo es el formado lateralmente por una superficie piramidal limitada en un sentido por el punto de intersección de sus aristas, llamado vértice principal y en el otro sentido por un plano secante.

Elementos
  • Aristas laterales: pertenecen a la superficie prismática lateral.
  • Aristas básicas: producidas sobre la superficie lateral por el plano secante.
  • Caras laterales: caras contenidas en la superficie lateral, son siempre triángulos, con vértice común en el vértice principal.
  • Base: cara contenida en el plano secante es un polígono de tantos lados como caras laterales tenga el poliedro.
  • Altura: distancia a la que se encuentra su vértice principal del plano de su base.
  • Sección plana es el polígono que produce al ser cortada la pirámide por un plano.
Casos particulares
  • Pirámide regular y recta: Siendo el polígono de la base regular, la altura coincide en el centro del polígono de la base.
  • Pirámide oblicua: Cuando la altura no coincide en el centro del polígono de la base.

Cilindro

El cilindro puede ser considerado como un prisma de infinito número de caras. Resulta de cortar una superficie cilíndrica por dos planos secantes paralelos.

Elementos
  • Generatriz: toda recta contenida en la superficie y paralela al eje del cuerpo. Es equivalente a la arista lateral en el prisma.
  • Bases: curvas cerradas y planas que se producen en los planos secantes.
  • Altura: es la distancia a la que se encuentran sus bases paralelas.
  • Sección plana es la curva cerrada y plana producida al ser cortado el cilindro por un plano secante.
  • Sección recta: cuando el plano secante antedicho es perpendicular al eje del cilindro, resulta circular cuando se trata de un cilindro de revolución.
Casos particulares
  • Cilindro truncado: Cuando los planos secantes no son paralelos
  • Cilindro de revolución: Cuando las generatrices equidistan del eje. Las bases son circulares o elípticas según sea recto u oblicuo respectivamente.
  • Cilindro recto: Cuando las bases son perpendiculares al eje o a las generatrices.
  • Cilindro oblicuo: Cuando las bases no son perpendiculares al eje o a las generatrices.

Cono

El cono puede ser considerado como una pirámide con infinito número de caras. Resulta de cortar una superficie cónica por un plano secante. El sólido o cuerpo queda limitado por este plano secante y el vértice.

Elementos
  • Vértice: punto de concurso de todas sus generatrices.
  • Generatriz: toda recta contenida en la superficie.
  • Altura: distancia del vértice al plano de la base.
  • Base: curva cerrada y plana que se produce en el plano secante.
  • Sección plana: curva producida al ser cortado el cono por un plano secante. Cuando el plano secante es oblicuo al eje se obtiene si el cilindro es de revolución una curva cónica, elipse, parábola o hipérbola según sea el ángulo entre el plano secante y el eje del cono mayor que el que forman las generatrices con el eje, igual o menor respectivamente.
  • Sección recta: sección generada en el cono cuando el plano secante mencionado es perpendicular al eje. Será un círculo cuando el cono sea de revolución.
Casos particulares
  • Cono de revolución: Cuando el ángulo de las generatrices y el eje es constante.
  • Cono recto: Cuando la altura es normal al plano de la base.
  • Cono oblicuo: Cuando la altura no es normal al plano de la base.

Secciones, desarrollo y transformada

Concepto

Se denomina así al polígono o curva formado por la intersección de un plano, denominado plano secante, y una superficie. Si la superficie es poliédrica, los vértices de dicho polígono se corresponden con las intersecciones entre dicho plano y las aristas del poliedro y los lados son las rectas intersección del plano secante con las caras del poliedro, se obtienen al unir los vértices ordenadamente.

Planos secantes

Los planos secantes suelen ser: Oblicuos, proyectantes horizontales o verticales, frontales, horizontales o de perfil.

Métodos para el cálculo de secciones

Para calcular las intersecciones entre las caras o aristas de un poliedro (o las generatrices de una superficie de revolución) y un plano secante podemos emplear varios métodos.:

Planos auxiliares

Tomando planos auxiliares que contengan  las caras, aristas o generatrices de la superficie, calculamos la recta intersección de estos con el plano secante, donde esta recta corte a las aristas o generatrices tomadas tendremos puntos de la sección buscada.

Generalmente se tomarán como auxiliares planos de fácil trazado y que generen una intersección fácil con el plano secante, los más usuales son:

  • Planos proyectantes verticales u horizontales: para aristas o generatrices oblicuas a los planos de proyección.
  • Planos horizontales o frontales: para caras, aristas o generatrices paralelas a los planos de proyección.
Cambios de plano.

En ocasiones resulta aconsejable convertir un plano secante oblicuo en proyectante donde la sección es directa, mediante un cambio de plano.

Homología y afinidad

Se puede simplificar el trazado de secciones mediante homología o afinidad entre la base de la superficie y la sección cuando trabajemos con superficies radiadas. Para ello calculamos algún punto de la sección mediante los métodos descritos y tomamos como eje de homología la intersección entre el plano secante y el plano que contiene a la base de la superficie.

Verdadera magnitud de la sección

Las proyecciones de la sección obtenidas pueden o no estar en verdadera magnitud lineal y angular. La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano secante sobre uno de los de proyección salvo que el plano secante sea horizontal o frontal, en cuyo caso se aprecia la sección, en una de sus proyecciones, en verdadera magnitud.

Los métodos empleados en el cálculo de verdaderas magnitudes son los que se emplean en abatimientos, pudiendo simplificarse este proceso mediante afinidad entre las proyecciones de la sección y la propia sección abatida sobre uno de los planos de proyección, siendo el eje de afinidad la charnela de abatimiento, la dirección de afinidad perpendicular a esta y conociendo un punto ya abatido.

Como vimos, superficie desarrollable es aquella que se puede adosar a un plano sin sufrir deformación lineal ni rotura. En el caso de un poliedro, el resultado es una figura plana formada al situar sobre un plano cada una de sus caras ordenadas de tal modo que tengan el mayor número de aristas comunes. La esfera y el toro no son desarrollables.

Transformada

Transformada de la sección no es sino la representación sobre el desarrollo de la superficie de las intersecciones generadas entre ésta (caras, aristas, generatrices) y el plano secante. Desarrollo y transformada se representan siempre con sus elementos en verdadera magnitud.

Contenido relacionado

Representación Prisma

Prisma recto con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Representaremos en la figura 5 un prisma recto de altura arbitraria y base triangular determinada y contenida en

Representación Pirámide.

Pirámide recta con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Representaremos en el ejercicio de la figura 9 una pirámide recta, de base cuadrada y altura -h- definida,

Representación Cilindro

Cilindro recto y de revolución con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Dibujaremos el cilindro de revolución conocida su altura -h- y el radio de su circunferencia

Representación Cono

Cono recto y de revolución con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Conocida la altura y el radio de la base, su representación no ofrece dificultad. Fig.

Secciones. Prisma

Sección oblicua de un prisma recto por un plano proyectante. La sección producida por el plano P proyectante vertical en el prisma recto dado, es el triángulo de vértices HJG,

Secciones. Pirámide

Sección oblicua de una pirámide. Mediante homología. Dada la pirámide oblicua y un plano secante oblicuo P. Cuando trabajamos con pirámides podemos resolver la sección simplificando por la homología existente

Secciones. Cilindro

Sección de un cilindro por un plano proyectante. Dado el cilindro de revolución por sus proyecciones, calcularemos la sección en él producida por un plano secante P proyectante. Por ser

Secciones. Cono

Sección oblicua de un cono recto y de revolución Para calcular la sección de un cono por un plano P oblicuo realizaremos un cambio de plano hasta convertir al plano

Desarrollo. Prisma

Desarrollo. Transformadas de las secciones Para calcular el desarrollo de cualquier superficie radiada: Calculamos previamente una de sus secciones rectas y dividimos ordenadamente un segmento igual al perímetro de dicha

Desarrollo. Pirámide

Desarrollo y transformada de una pirámide recta. Calculamos la verdadera magnitud de las aristas laterales, por tratarse de una pirámide recta y regular todas ellas medirán lo mismo luego calculamos

Recursos o ejercicios para este tema

Aún no hay recursos externos publicados en esta sección
5/5
Técnica: Software
Pack de cursos muy recomendados para introducirte en 3DsMax y Corona Renderer desde cero. Explicaciones muy claras y contenido de las sesiones muy interesante. Resulta muy fácil seguir las indicaciones.
5/5
Técnica: Software
Aprenderás a planificar y gestionar tu proyecto de Lumion para que sea mucho más cómodo de editar y, además, sentar las bases de una buena colaboración: tanto con otras personas, como contigo mismo para compartir información en proyectos posteriores.
5/5
Técnica: Software
En este pack de 8 cursos aprenderás a manejar Revit desde cero para desarrollar tus propios proyectos arquitectónicos. Descubrirás las herramientas para crear muros, suelos, cubiertas y estructuras, además de planos y presentaciones realistas.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a profesionales de la arquitectura, estudiantes, artistas y a cualquier persona interesada en crear visualizaciones arquitectónicas. Crearás un modelo detallado de una casa vacacional.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, diseñadores, fotógrafos, animadores y creativos en general con un nivel básico de 3D e interesados en la Arquitectura, la Fotografía y el Interiorismo. Al final del curso elaborarás una imagen del interior de una vivienda unifamiliar situada en un bosque.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a fotógrafos, diseñadores, ilustradores, concept artists, artistas de la industria del cine, los videojuegos o la publicidad y cualquier creativo que esté buscando desarrollar nuevas habilidades de retoque digital con Photoshop.
5/5
Técnica: Software
Un excelente curso de Adobe Photoshop avanzado, muy fácil de entender y completamente recomendado para aquellos que deseen profundizar en esta excelente herramienta o quieran explorar este mundo de la edición y diseño digital.
5/5
Técnica: Software
Un pack de 5 cursos introductorios para aprender Adobe Photoshop. No son necesarios conocimientos previos de ningún tipo, por lo que está dirigido a cualquier persona interesada en dar sus primeros pasos en el retoque de fotografías y la creación de imágenes digitales.
5/5
Técnica: Software
Un pack de 7 cursos donde aprenderás a manejar todas las herramientas, tips y atajos necesarios para realizar un trabajo profesional. Los recursos del curso y páginas recomendadas para conseguir referencias para artistas son muy útiles.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, ingenieros y cualquier persona que quiera empezar a modelar espacios en 3D y dar sus primeros pasos en el software líder de la metodología BIM, Revit. Al finalizar habrás creado un proyecto de vivienda completo, con todas las fases de diseño y modelación en Revit.

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​