Sistema diédrico. Superficies

Según sean las superficies, se denominan:

• Superficies Geométricas, cuando responden a una ley geométrica determinada.
• Superficies Regladas, cuando la generatriz es recta y no curva.

Las superficies pueden ser, a su vez

• Superficie Desarrollable, cuando puede desplegarse y adosarse a un plano sin sufrir rotura ni deformación lineal.

Superficie Alabeada, cuando no puede desplegarse y adosarse a un plano sin sufrir rotura ni deformación lineal.

Entre las superficies regladas se pueden distinguir las Superficies radiadas. Son superficies geométricas y desarrollables. La ley geométrica que define a una superficie radiada es la siguiente: la generatriz desde un punto fijo propio o impropio, recorre la directriz. En el primer caso las generatrices concurren en el vértice de la superficie (cono, pirámide) y en el segundo la superficie no tiene vértice pues las generatrices son paralelas entre sí (prisma, cilindro). La directriz puede ser cualquier polígono cerrado regular o irregular o cualquier curva cerrada. (Triángulo, cuadrado, pentágono, circulo, elipse, etc.)

Dentro de las superficies radiadas podemos distinguir:

Poliedro significa varias caras. Estas superficies tienen de base o directriz un polígono, las generatrices concurren en el vértice, que es punto propio. El cuerpo que esta superficie envuelve es la  PIRÁMIDE. Fig.1

La directriz es también un polígono pero las generatrices concurren en un punto impropio o del infinito, por lo que son paralelas entre sí. El cuerpo envuelto por esta superficie es el PRISMA. Fig. 2.

La directriz es una curva y las generatrices concurren en un punto propio. En las superficies cónicas de revolución la curva directriz es una circunferencia y por tanto, las generatrices  mantienen un ángulo constante con el eje. El cuerpo envuelto por esta superficie es el CONO. Fig.3.

La directriz es también una curva, las generatrices son paralelas entre sí y al eje por concurrir en un punto impropio o del infinito. Al igual que en las superficies cónicas se puede distinguir entre las superficies cilíndricas de revolución y las que no lo son, en las primeras se mantienen sus generatrices a una distancia constante del eje y en las segundas no. El cuerpo envuelto por esta superficie es el CILINDRO. Fig.4.

Superficies poliédricas

Se denominan así a las superficies que están formadas por múltiples caras planas (por ejemplo las superficies radiadas prismáticas y piramidales estudiadas). Si estas caras son todas iguales se denominan superficies poliédricas regulares y el cuerpo al que envuelven, Poliedro regular.

Son cinco los poliedros regulares existentes, a saber:

• TETRAEDRO: Tiene cuatro caras, estas son  triángulos equiláteros.
• HEXAEDRO: Tiene seis caras, son cuadrados.
• OCTAEDRO: Tiene ocho caras, son  triángulos equiláteros.
• DODECAEDRO: Formado por doce caras pentagonales.
• ICOSAEDRO: Formado por  veinte caras que son triángulos equiláteros.

La generatriz es una línea curva. Las superficies no regladas más importantes son las de revolución generadas por una curva que gira alrededor de una recta fija denominada eje y contenida en su plano.

Destacan en este grupo:

• La esfera. Su generatriz es una circunferencia girando sobre uno de sus diámetros.
• El toro. Su generatriz es una circunferencia girando sobre un eje que no contiene a su centro.
• La escocia. Engendrada por dos o más arcos de circunferencia tangentes entre sí.

A continuación analizaremos los elementos y variables de los cuerpos radiados.

El cuerpo cuya superficie está constituida lateralmente por una superficie prismática limitada en sus dos sentidos por dos planos secantes paralelos entre sí, se denomina prisma.

• Aristas laterales: pertenecen a la superficie prismática lateral.
• Aristas básicas: producidas sobre la superficie lateral por los planos secantes.
• Caras laterales: caras contenidas en la superficie lateral, son siempre cuadriláteros paralelogramos o trapecios según se trate de un prisma de bases paralelas o truncado respectivamente.
• Bases: caras contenidas en los planos secantes, siendo polígonos de tantos lados como caras laterales tenga el Poliedro.
• Altura: distancia a la que se encuentran sus bases paralelas.
• Sección plana es el polígono que produce al ser cortado el prisma por un plano.
• Sección recta: polígono producido cuando el plano secante es perpendicular a las aristas laterales.

Casos particulares

• Prisma truncado: Cuando estos dos planos secantes no son paralelos entre sí.
• Prisma recto: Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases.
• Prisma oblicuo: Cuando las aristas laterales no son normales a las bases.
• Prisma regular: Cuando el prisma, además de recto, tiene por bases un polígono regular.
• Paralelepípedo: Sus bases son cuadriláteros paralelogramos.
• Paralelepípedo rectángulo: Cuando el paralepípedo es recto.

La pirámide puede ser considerada como un prisma, en donde el punto de concurso de sus aristas es propio. De aquí que este cuerpo es el formado lateralmente por una superficie piramidal limitada en un sentido por el punto de intersección de sus aristas, llamado vértice principal y en el otro sentido por un plano secante.

• Aristas laterales: pertenecen a la superficie prismática lateral.
• Aristas básicas: producidas sobre la superficie lateral por el plano secante.
• Caras laterales: caras contenidas en la superficie lateral, son siempre triángulos, con vértice común en el vértice principal.
• Base: cara contenida en el plano secante es un polígono de tantos lados como caras laterales tenga el poliedro.
• Altura: distancia a la que se encuentra su vértice principal del plano de su base.
• Sección plana es el polígono que produce al ser cortada la pirámide por un plano.

Casos particulares

• Pirámide regular y recta: Siendo el polígono de la base regular, la altura coincide en el centro del polígono de la base.
• Pirámide oblicua: Cuando la altura no coincide en el centro del polígono de la base.

El cilindro puede ser considerado como un prisma de infinito número de caras. Resulta de cortar una superficie cilíndrica por dos planos secantes paralelos.

• Generatriz: toda recta contenida en la superficie y paralela al eje del cuerpo. Es equivalente a la arista lateral en el prisma.
• Bases: curvas cerradas y planas que se producen en los planos secantes.
• Altura: es la distancia a la que se encuentran sus bases paralelas.
• Sección plana es la curva cerrada y plana producida al ser cortado el cilindro por un plano secante.
• Sección recta: cuando el plano secante antedicho es perpendicular al eje del cilindro, resulta circular cuando se trata de un cilindro de revolución.

Casos particulares

• Cilindro truncado: Cuando los planos secantes no son paralelos
• Cilindro de revolución: Cuando las generatrices equidistan del eje. Las bases son circulares o elípticas según sea recto u oblicuo respectivamente.
• Cilindro recto: Cuando las bases son perpendiculares al eje o a las generatrices.
• Cilindro oblicuo: Cuando las bases no son perpendiculares al eje o a las generatrices.

El cono puede ser considerado como una pirámide con infinito número de caras. Resulta de cortar una superficie cónica por un plano secante. El sólido o cuerpo queda limitado por este plano secante y el vértice.

• Vértice: punto de concurso de todas sus generatrices.
• Generatriz: toda recta contenida en la superficie.
• Altura: distancia del vértice al plano de la base.
• Base: curva cerrada y plana que se produce en el plano secante.
• Sección plana: curva producida al ser cortado el cono por un plano secante. Cuando el plano secante es oblicuo al eje se obtiene si el cilindro es de revolución una curva cónica, elipse, parábola o hipérbola según sea el ángulo entre el plano secante y el eje del cono mayor que el que forman las generatrices con el eje, igual o menor respectivamente.
• Sección recta: sección generada en el cono cuando el plano secante mencionado es perpendicular al eje. Será un círculo cuando el cono sea de revolución.

Casos particulares

• Cono de revolución: Cuando el ángulo de las generatrices y el eje es constante.
• Cono recto: Cuando la altura es normal al plano de la base.
• Cono oblicuo: Cuando la altura no es normal al plano de la base.

Se denomina así al polígono o curva formado por la intersección de un plano, denominado plano secante, y una superficie. Si la superficie es poliédrica, los vértices de dicho polígono se corresponden con las intersecciones entre dicho plano y las aristas del poliedro y los lados son las rectas intersección del plano secante con las caras del poliedro, se obtienen al unir los vértices ordenadamente.

Los planos secantes suelen ser: Oblicuos, proyectantes horizontales o verticales, frontales, horizontales o de perfil.

Para calcular las intersecciones entre las caras o aristas de un poliedro (o las generatrices de una superficie de revolución) y un plano secante podemos emplear varios métodos.:

Tomando planos auxiliares que contengan  las caras, aristas o generatrices de la superficie, calculamos la recta intersección de estos con el plano secante, donde esta recta corte a las aristas o generatrices tomadas tendremos puntos de la sección buscada.

Generalmente se tomarán como auxiliares planos de fácil trazado y que generen una intersección fácil con el plano secante, los más usuales son:

• Planos proyectantes verticales u horizontales: para aristas o generatrices oblicuas a los planos de proyección.
• Planos horizontales o frontales: para caras, aristas o generatrices paralelas a los planos de proyección.

En ocasiones resulta aconsejable convertir un plano secante oblicuo en proyectante donde la sección es directa, mediante un cambio de plano.

Se puede simplificar el trazado de secciones mediante homología o afinidad entre la base de la superficie y la sección cuando trabajemos con superficies radiadas. Para ello calculamos algún punto de la sección mediante los métodos descritos y tomamos como eje de homología la intersección entre el plano secante y el plano que contiene a la base de la superficie.

Las proyecciones de la sección obtenidas pueden o no estar en verdadera magnitud lineal y angular. La verdadera magnitud de la sección se obtiene por abatimiento del plano secante sobre uno de los de proyección salvo que el plano secante sea horizontal o frontal, en cuyo caso se aprecia la sección, en una de sus proyecciones, en verdadera magnitud.

Los métodos empleados en el cálculo de verdaderas magnitudes son los que se emplean en abatimientos, pudiendo simplificarse este proceso mediante afinidad entre las proyecciones de la sección y la propia sección abatida sobre uno de los planos de proyección, siendo el eje de afinidad la charnela de abatimiento, la dirección de afinidad perpendicular a esta y conociendo un punto ya abatido.

Como vimos, superficie desarrollable es aquella que se puede adosar a un plano sin sufrir deformación lineal ni rotura. En el caso de un poliedro, el resultado es una figura plana formada al situar sobre un plano cada una de sus caras ordenadas de tal modo que tengan el mayor número de aristas comunes. La esfera y el toro no son desarrollables.

Transformada de la sección no es sino la representación sobre el desarrollo de la superficie de las intersecciones generadas entre ésta (caras, aristas, generatrices) y el plano secante. Desarrollo y transformada se representan siempre con sus elementos en verdadera magnitud.