Transformaciones geométricas. Inversión

La inversión es una transformación geométrica por la que a un punto A del plano, se le hace corresponder otro A’ del mismo plano, de tal forma que ambos estén alineados con un punto fijo O denominado centro de inversión, y que el producto de sus distancias al centro de inversión, OA x OA’, tenga un valor constante, K i, denominado potencia de la inversión.

OA x OA’ = K i

La potencia de inversión será positiva o negativa según estén situados los puntos inversos a un mismo lado de O o a ambos respectivamente. FIG. 16.

La inversión está estrechamente ligada a la Potencia P, recordemos que potencia de un punto P respecto a una circunferencia C, si trazamos una secante r a la circunferencia, es el producto de las distancias de dicho punto P a los de intersección A y A’ de r con la circunferencia C. AP x A’P = Kp (= T2 = PB x PB’)

Si consideramos P como centro de una inversión (P=O), A y A’ son inversos respecto este punto según una razón de inversión K i = Kp. Como vemos toda potencia es inversión respecto de su punto pero no toda inversión es potencia pues esta última se restringe a una circunferencia concreta. (Fig. 58)

Figuras dobles

Son puntos o figuras dobles en una homografía o transformación geométrica, aquellas que no varían en dicha transformación. Una figura puede ser doble y sus puntos no serlo.

Son dobles en la inversión, es decir, inversos de sí mismos:

1. La circunferencia de centro Oc coincidente con el centro de inversión O y radio r=√ki, cuando la potencia de inversión es positiva.

También son dobles todos sus puntos puesto que rxr=Ki. Esta circunferencia se denomina DOBLE DE PUNTOS DOBLES. Supongamos un valor 9 para Ki, si el radio OA de la circunferencia mide 3, el inverso de su extremo A coincide en el propio extremo pues OAxOA’=Ki, sustituyendo 3xOA’=9, despejando OA’=3. (Fig. 59).

Potencia, Circunferencia doble de puntos dobles y circunferencia doble.
Potencia, Circunferencia doble de puntos dobles y circunferencia doble.
2. Las rectas que pasan por el centro de inversión.

Las rectas que pasan por O contienen necesariamente puntos inversos entre sí, como A y A’, estas rectas son pues figuras dobles por estar compuestas de puntos entre sí inversos. Cualquier punto tomado en ellas tiene su inverso sobre la propia recta. En el ejemplo de la figura 19, A’ es inverso de A para una potencia de inversión dada K=16.

3. Circunferencia doble

Los inversos de sus puntos están sobre ella misma.

Es toda circunferencia C, respecto a la cual tenga el centro de inversión O, igual potencia Kp que potencia de inversión Ki (Kp = Ki).

La circunferencia de centro C, tiene los puntos inversos de sus propios puntos, sobre ella misma siempre que la potencia Kp y la potencia de inversión Ki respecto a estos puntos, sea idéntica. Para ello, el centro de inversión O y el punto P desde donde trazamos la potencia, deben coincidir. (AP x A’P=Kp=Ki=AO x A’O; P=O)

Podemos decir por tanto que toda circunferencia que pase por dos puntos inversos A, A’, es doble para esa inversión. Efectivamente, determinada una inversión dibujamos dos inversos A y A’, todas las circunferencias que contengan a A y A’ son dobles para la inversión en cuestión pues sus puntos presentan sus inversos sobre la propia circunferencia como le sucede al punto B. Esto es así pues cuando dos puntos inversos A y A’ pertenecen a su vez a una circunferencia cualquiera, la potencia Kp para esta circunferencia desde el centro de inversión y la potencia de inversión Ki coinciden automáticamente (Fig. 60).

Antiparalelas

Las rectas antiparalelas entre sí forman con relación a los lados de un ángulo cualquiera α (AOB) un ángulo (OAB) una de ellas (AB) con relación a uno de los lados del ángulo (el OA’ por ej.) igual al ángulo (OB’A’) que la otra recta (A’B’) forma con el otro lado (OB’) de dicho ángulo. Figura 61.

En inversión, la recta que une dos puntos no alineados A y B y la que une sus inversos A’ y B’, son antiparalelas entre sí. En la figura 62 dibujamos la circunferencia doble de la inversión además de las antiparalelas.

Relación entre antiparalelas y circunferencia doble. Análisis de ángulos
Relación entre antiparalelas y circunferencia doble. Análisis de ángulos

Determinación de puntos inversos

Determinada una inversión por su centro O y un par de puntos inversos A A’, el inverso de otro dado B, se encuentra en la intersección de la recta OB con la circunferencia que pasa por AA’B (C, de centro donde se cruzan las mediatrices a AA’ y AB), o bien, en la recta A’B’ antiparalela de AB respecto del ángulo AOB. (Fig. 63).

En el ejemplo de la figura 64 calcularemos el inverso de B, B’, conocidos el centro de inversión O, un punto A y su inverso A’. Las mediatrices de AA’ y AB se cortan en C, circunferencia doble de la inversión que corta a la recta OB en B’, solución.

Determinación de puntos inversos por antiparalelas y por circunferencia doble
Determinación de puntos inversos por antiparalelas y por circunferencia doble

Figuras inversas de las circunferencias que pasan por el centro de inversión

Teorema: “La figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por dicho centro”

Recíprocamente, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por dicho centro O. Además, el diámetro de la circunferencia que pasa por O y la recta son perpendiculares entre sí estando el centro de inversión situado en alguno de los extremos de dicho diámetro.

Demostración:

Sea O el centro y r la recta dada. Trazamos por O una perpendicular a la recta r que la corta en B y otra recta cualquiera que corta a r en A, determinamos dos inversos de A y B, A’ y B’, mediante una antiparalela a distancia aleatoria (es decir, para una potencia de inversión cualquiera). Definidos A’ y B’ tendremos que por ser OB normal a r, AB será normal a OB, y por antiparalelas, A’B’ lo será a OA’.

Por arco capaz de 90º podemos trazar una circunferencia que pasando por A’ tenga como diámetro el segmento OB’. Esta circunferencia es efectivamente la figura inversa de la recta r pues contiene a los inversos de r, podemos probar con tantos puntos como queramos de r y observaremos como efectivamente sus inversos pertenecerán a la circunferencia. (Fig. 65)

Si operamos considerando el otro extremo B’ del diámetro OB’, el centro de inversión, observamos que la recta r es inversa de la circunferencia también para este centro. (Fig. 66)

Rectas secantes inversas las circunferencias que pasan por el centro de inversión
Rectas secantes inversas las circunferencias que pasan por el centro de inversión

Existen tres posiciones posibles de rectas inversas a circunferencias que pasen por O, r secante, exterior y tangente, las dos primeras posiciones válidas además para dos centros de inversión diametralmente opuestos, y la última válida para el extremo del diámetro de la circunferencia normal a r, que no está en contacto con la recta. (Fig. 67)

Rectas tangentes y exteriores inversas a la circunferencia que pasa por el centro de inversión
Rectas tangentes y exteriores inversas a la circunferencia que pasa por el centro de inversión

De lo visto se deduce que una circunferencia es siempre inversa de una recta si tomamos como centro de inversión uno de los extremos del diámetro perpendicular a la recta.

Figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión

Teorema: “La figura inversa de una circunferencia C1 que no pasa por el centro de inversión O, es otra circunferencia C2 homotética de ésta, con centro de homotecia en el de inversión O, y razón de homotecia Kh igual al cociente entre la potencia de inversión Ki y la potencia Kp de O respecto de la circunferencia”. (Kh = Ki / Kp). Fig 67

Demostración:

Dada una circunferencia C1, de radio arbitrario y O, centro de inversión exterior a la misma, trazamos otra circunferencia C2 homotética de la primera con centro de homotecia igual al de inversión dado para una razón de homotecia Kh cualquiera (C2 de radio aleatorio).

Figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión
Figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión

Para trazar una circunferencia homotética respecto O a C1, los extremos de dos de sus radios paralelos unidos deben cortar a la recta unión de centros C1 y C2, en O.

Si trazamos desde O una secante a ambas circunferencias obtenemos los puntos A y B en C1, A’ y B’ en C2.

  • B’ es homotético de A y A’ de B, por lo que debe cumplirse que: OB’/OA = OA’/OB = Kh.
  • Según este teorema A’ es inverso de A y B’ de B (Podemos comprobarlo trazando antiparalelas) por lo que la potencia de inversión será: OAxOA’ = OBxOB’ = Ki
  • La potencia P de O respecto de C1, será: OAxOB = Kp
  • Según este teorema: Kh = Ki / Kp. Sustituyendo sus miembros tenemos que: Kh = OAxOA’ / OAxOB = OBxOB’ / OAxOB, que simplificada: OA’/OB = OB’/OA = Kh. 
  • Se verifica por tanto que Kh = Ki / Kp

Es importante destacar que el centro C2 no es inverso de C1 si bien si es su homotético. El punto inverso de C1 es Ci y lo calculamos mediante una antiparalela.

Los puntos inversos de A, B, etc., no coinciden con sus homotéticos salvo en el caso de los de rectas tangentes comunes a ambas circunferencias desde el centro de homotecia O (T y T’).

Aplicaciones de la inversión a la resolución de tangencias

Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta

Aprovechamos el primer teorema.

Este ejercicio también está resuelto en tangencias en esta misma web.

Dada la circunferencia de centro O, la recta r exterior y conocido el punto T de tangencia en r de las circunferencias tangentes a r y O. Los centros de las circunferencias se encontrarán en la perpendicular trazada a r por T pues la recta tangente a una circunferencia es siempre normal a su radio correspondiente. Trazamos por O una recta normal a r que determina sobre la circunferencia de centro O los puntos A y B, centros de inversión de la recta r y circunferencia O inversas entre sí.

Los puntos de tangencia en la inversión de las circunferencias buscadas con r y O son inversos entre sí pues estas son dobles. Conocido T bastará pues con unirlo a los centros de inversión A y B determinando en su intersección con O T1 y T2, puntos de tangencia sobre O de las circunferencias buscadas. Como los centros de dos circunferencias tangentes entre sí deben estar alineados con el punto de tangencia, determinaremos los centros O1 y O2 en la intersección de las prolongaciones de los segmentos OT1 y OT2 con la normal trazada anteriormente a r en T. FIG. 69

Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta
Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias (CCP).

Aprovechamos el segundo teorema.

Este ejercicio también está resuelto en tangencias en esta misma web.

Dadas C1 y C2, y conocido T, punto de tangencia en C1 de las circunferencias tangentes a C1 y C2.

Calculamos el centro de homotecia directo e inverso de ambas circunferencias H+ y H- y calculamos los inversos de T para cada centro en C2, T’ y T» respectivamente y obtenemos los puntos de tangencia en C2 de las dos circunferencias buscadas, pues sabemos que los puntos de tangencia de una circunferencia con dos inversas son entre sí inversos por ser doble la tangente trazada.

Los centros O1 y O2 buscados deben estar en línea recta con los centros de las circunferencias a las que son tangentes y sus respectivos puntos de tangencia. Obtendremos por tanto O1 en la intersección de C1T con C2T’ y O2 en la intersección de C2T con C1T. FIG. 70

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias
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