Tangentes a circunferencia y recta por puntos. Problema de Apolonio III.
25. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, pasando por un punto exterior a las mismas (CPR).
Dada la recta r, la circunferencia O y el punto P exterior a ambas.
Trazamos una recta normal a r y que pase por el centro de la circunferencia dada, determinando A y B en su intersección con la circunferencia y D en su intersección con r. Unimos A con P mediante una recta que corta en P’ a una circunferencia auxiliar que pasa por B, D y P, con esta operación, el problema queda reducido a trazar circunferencias tangentes a r pasando por P y P’ (figura 18).
Para resolver el problema trazamos una circunferencia C de diámetro PP’ y la mediatriz de PP’, lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasen por PP’.
Desde M, centro radical de las circunferencias que pasan por PP’ y de las circunferencias tangentes a r, trazamos una recta tangente a C. Su magnitud MT la llevamos sobre la recta r a partir de M determinando T1’ y T2’, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con r. Los centros O1 y O2 de estas circunferencias están en la intersección de las normales trazadas a r desde T1’ y T2’ con la mediatriz de PP’.
Los puntos de tangencia entre O1, O2 y O, deben de estar en línea recta con sus centros. También están en la intersección de AT1’ con O y AT2’ con O. FIG. 28 Tenemos dos soluciones más si tomamos como A en el extremo inferior del diámetro normal a r y que pasa por O, operando de igual modo. FIG. 29.
26. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta (CPR).
Dada la circunferencia de centro O, la recta r exterior y conocido el punto T de tangencia en r de las circunferencias tangentes a r y O.
Los centros de las circunferencias se encontrarán en la perpendicular trazada a r por T pues la recta tangente a una circunferencia es siempre normal a su radio correspondiente. Trazamos por O una recta normal a r que determina sobre la circunferencia de centro O los puntos A y B, centros de inversión de la recta r y circunferencia O inversas entre sí.
Como hemos visto en el ejercicio anterior, los puntos de tangencia en la inversión de las circunferencias buscadas con r y O son inversos entre sí pues estas son dobles. Conocido T bastará pues con unirlo a los centros de inversión A y B determinando en su intersección con O T1 y T2, puntos de tangencia sobre O de las circunferencias buscadas.
Como los centros de dos circunferencias tangentes entre sí deben estar alineados con el punto de tangencia, determinaremos los centros O1 y O2 en la intersección de las prolongaciones de los segmentos OT1 y OT2 con la normal trazada anteriormente a r en T. FIG. 30
27. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia (CPR).
Dada la circunferencia de centro O, la recta r exterior y T, punto de tangencia de las circunferencia tangentes a r y O buscadas con O.
Sabemos que los centros de las circunferencias buscadas tangentes a O deben estar en línea con OT.
Procedemos de modo similar al ejercicio anterior, determinamos A y B centros de inversión de r y O inversas y los unimos con T, prolongamos AT y BT hasta cortar a r en T1 y T2, inversos de T respecto de A y B y puntos de tangencia en r de las circunferencias buscadas.
Determinamos O1 y O2 en la intersección de las normales a r por T1 y T2 con la prolongación de OT. FIG. 31
28. Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta dadas (CCR).
Dadas las circunferencias O, O’ y la recta r.
Reduciremos una de las circunferencias dadas a su centro quedando el problema reducido a trazar las posibles circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, resuelto por inversión en las figuras 28 y 29.
Para ello restaremos el radio r de la circunferencia de radio menor O a la de centro O’ y radio R, trazando una circunferencia de centro O’ y radio R-r. Trazaremos dos paralelas a la recta dada, a distancia r (considerada la recta como una circunferencia con su centro en el infinito, restamos a su radio el de la circunferencia O, tomando este centro en los dos sentidos posibles a un lado y otro de la recta, obtenemos dos circunferencias concéntricas de radio infinito y por tanto rectas paralelas a uno y otro lado de la recta dada). Obtenemos de esta forma cuatro soluciones.
Si sumamos el radio r de O, a O’, trazando de nuevo paralelas a la recta a distancia r, obtenemos otras cuatro soluciones.
El centro de inversión A debe tomarse en cada caso como a continuación se indica:
- A en el extremo superior del diámetro normal a r por O’: R-r y recta auxiliar paralela por debajo de la dada. (Dos soluciones).
- A en el extremo inferior del diámetro normal a r por O’: R-r y recta auxiliar paralela por encima de la dada. (Dos soluciones).
- A en el extremo superior del diámetro normal a r por O’: R+r y recta auxiliar paralela por encima de la dada. (Dos soluciones).
- A en el extremo inferior del diámetro normal a r por O’: R+r y recta auxiliar paralela por debajo de la dada. (Dos soluciones).
En cada caso se trabaja con los elementos auxiliares como si fueran las verdaderas figuras, obtenidos los puntos de tangencia sobre la recta auxiliar (1, 2) se trasladan mediante una perpendicular a la recta dada a T1’ Y T2’, que serán inversos de los situados sobre las circunferencias. FIG. 33
JUSTIFICACIÓN
- Recordemos que la figura inversa de una circunferencia cuando el centro de inversión pertenece a esta, es una recta secante, tangente o exterior a la circunferencia perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión. Son centros de esta inversión, para rectas secantes y exteriores a su circunferencia inversa, los dos extremos del mencionado diámetro.
- En nuestro ejercicio, se ha considerado A (en el primer caso extremo superior del diámetro AB e inferior en el segundo) centro de inversión y r figura inversa de O, los puntos B y D son por tanto inversos y la potencia de inversión ABxAD.
- La circunferencia auxiliar BDP trazada es una circunferencia doble en esta inversión por contener a un par de puntos inversos BD. Por ser doble, todos los puntos pertenecientes a ella tienen su inverso en la propia circunferencia, en la intersección de una recta que los una con el centro de inversión, tal es el caso de P, que tiene su inverso P’ en la intersección de P con la circunferencia doble.
- Los puntos de tangencia de O y r sobre alguna de las circunferencias buscadas (T2 y T2’ por ej.) serán inversos como podremos comprobar, por tanto las circunferencias tangentes a r y O solicitadas serán dobles y si contienen a P contendrán por tanto a P’, su centro debe pues estar situado sobre la mediatriz de PP’.
- Calculando P’, inverso de P auxiliándonos de la circunferencia doble que pasa por BDP, el problema queda reducido a trazar circunferencias tangentes a r pasando por P y P’.
- Los puntos de tangencia T2 y T2’ o T1 y T1’ son efectivamente inversos pues pertenecen a dos figuras inversas entre sí (O y r) estando alineados por tanto con A, centro de inversión.
- Las dos soluciones de la FIG. 29 se obtienen considerando como centro de inversión el extremo inferior del diámetro normal a r pasando por O.
