Ángulos de la circunferencia. Arco capaz

Se pueden sistematizar varios tipos de ángulos en base a la posición relativa que éstos adopten respecto de una circunferencia:

Ángulos circunferencia
Tipos de Ángulos de la circunferencia. Figuras 34, 35, 36 y 37

Ángulos de la circunferencia

A. Ángulo central

Este ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia, su medida es la del arco de circunferencia que sus lados abarcan. AOB. FIG. 34.

B. Periféricos

Son los que tienen su vértice en la circunferencia, se pueden distinguir:

  1. Inscrito: Vértice A en la circunferencia y ambos lados secantes a la misma, BAC. Su valor es igual a la mitad del central comprendido entre sus lados BOC. (BAC = BOC/2). FIG. 35.
  2. Seminscrito: Vértice A en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente, BAC. Su valor es igual a la mitad del arco de circunferencia comprendido entre sus lados [1] (central AOC). (BAC = AOC/2). FIG. 36.
  3. Exinscrito: Vértice A en la circunferencia y formado por una cuerda y la prolongación de la otra, BAC. (Ambos lados secantes, uno interior o inscrito y el otro exterior). Su valor es 180º menos el valor del inscrito CAD. (BAC = 180º-CAD). FIG. 37.
Ángulos circunferencia
Ángulos interior y exterior de la circunferencia. Figuras 38 y 39

C. Interiores

Vértice A en el interior de la circunferencia y lados secantes BAC. Su valor es la semisuma de los ángulos centrales comprendidos entre sus lados, BOC y DAE. (BAC = BOC/ 2 + DOE/2). FIG. 38.

D. Exteriores

Vértice A fuera de la circunferencia, lados secantes, CAE. Su valor es la semidiferencia de los centrales comprendidos entre sus lados, BOD y ECO. (CAE = BOD/2-ECO/2). FIG. 39.

Aplicaciones

La aplicación más extendida de los ángulos de la circunferencia es el arco capaz:

Arco Capaz

Arco capaz de un ángulo dado respecto de un segmento conocido, es el lugar geométrico de las posiciones del vértice del ángulo para que en cualquier momento quede el segmento sustendido entre sus lados.

Por ejemplo, dibujemos el arco capaz de 60º para un segmento dado AB. Dibujamos el segmento dado y en un extremo, extremo A por ejemplo, dibujamos una semirrecta que forme con el segmento el ángulo dado (60º en el ejemplo). El arco capaz contiene siempre a los extremos del segmento dado y por tanto su centro debe estar sobre la mediatriz de AB, trazamos la mediatriz del segmento y una perpendicular a la semirrecta trazada. El centro del arco está, como comprobaremos, donde ambas se corten. Los ángulos dibujados con su vértice en el arco capaz y cuyos lados pasen por A y B, medirán siempre 60º. FIG. 40.

Arco Capaz
Arco Capaz. Figuras 40 y 41

Justificación: El arco capaz surge de la relación entre un ángulo seminscrito<180º, un ángulo inscrito y el central de dicho arco.

El ángulo trazado en el extremo del segmento AB (de 60º en el ejemplo) es un ángulo seminscrito (BAE) tangente uno de sus lados a la circunferencia en A y el otro secante. Su valor es la mitad del central comprendido entre sus lados AOB (120º) como vimos. El lado secante es el segmento dado AB en el ejemplo.

Por otra parte, un ángulo inscrito ACB (con su vértice en la circunferencia y de lados secantes), mide la mitad que el central comprendido entre sus lados, de modo que todos los ángulos de vértice en el arco capaz y cuyos lados contengan a los puntos A y B (extremos del central que nos ocupa y del segmento dado), miden la mitad de dicho central (120/2 = 60º) y por tanto lo mismo que el seminscrito dado.

El centro del arco capaz queda localizado pues sabemos que debe estar en la mediatriz del segmento para que contenga a los puntos A y B a un tiempo por un lado, y sobre la recta perpendicular a la semirrecta AE, tangente a la circunferencia en el punto A y por tanto es perpendicular al radio de la misma en ese punto. Donde éste radio y la mediatriz se corten estará el centro del arco capaz. FIG.41.

 


[1]Existe cierta indeterminación, se resolverá del siguiente modo:

  • Entenderemos como CENTRAL a dividir por 2, el que sea menor de 180º cuando trabajemos con el seminscrito menor de 90º.
  • Tomaremos el central mayor de 180º cuando consideremos el seminscrito mayor de 90º.

 

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