Aplicación de las tangencias. Enlaces

Enlace es la unión armónica de dos o más líneas curvas o rectas y curvas entre sí, por medio de tangencias.

En el enlace entre un arco de circunferencia y una recta, el radio del arco perpendicular a la recta determina en su intersección con esta el punto de tangencia entre ambas.

El enlace entre dos arcos tiene siempre su punto de tangencia en línea recta con los centros de ambos arcos.

Aplicaciones

Enlazar dos rectas perpendiculares mediante un arco de radio r conocido

Dadas las rectas r, s y el radio R del arco.

Trazamos paralelas en el sentido en que queramos realizar el enlace a ambas rectas y distancia igual al radio dado, estas se cortan en O, centro del arco de enlace desde donde lo trazamos con radio R.

Los puntos de tangencia están en el pié de las normales trazadas a r y s desde O. Figura 1

Dadas dos rectas paralelas, enlazarlas por medio de dos arcos de igual radio, conocidos los puntos de tangencia T1 y T2

Dadas las rectas r1 y r2, unimos mediante un segmento los puntos de tangencia dados y trazamos una paralela a las rectas por su punto medio T que será el punto de tangencia entre los dos arcos que utilizaremos para enlazar ambas rectas.

Los centros de estos arcos O1 y O2 están en la intersección de las perpendiculares trazadas a las rectas por T1 y T2 y las mediatrices de los segmentos T1-T y T2-T. Figura 2

Aplicación de las tangencias. Enlaces de rectas perpendiculares y paralelas
Aplicación de las tangencias. Enlaces de rectas perpendiculares y paralelas

Enlazar dos rectas que se cortan por medio de un arco, conocido el punto de tangencia en una de ellas

Dadas «r» y «s», y el punto de tangencia T1 en «r», trazamos una perpendicular a «r» por T1 que cortará a la bisectriz de ambas rectas en O, centro del arco y desde donde trazamos una perpendicular a «s» para localizar T2. Figura 3

Enlazar dos rectas que se cortan por medio de un arco de radio conocido

Dadas «r», «s» y d, radio del arco de enlace, trazamos una paralela a una de las rectas obteniendo en su corte con la bisectriz de ambas el centro del arco O, desde donde trazamos normales a «r» y «s» para localizar T1 y T2, puntos de enlace. Figura 4

Aplicación de las tangencias. Enlazar dos rectas que se cortan por medio de un arco
Aplicación de las tangencias. Enlazar dos rectas que se cortan por medio de un arco

Dada una recta y una circunferencia enlazarlas mediante un arco conocido el punto de tangencia en la circunferencia

Dada la recta r, la circunferencia de centro O y el punto de tangencia en esta, T.

Trazamos por T una recta tangente a la circunferencia que corta en N a r. Calculamos la bisectriz de las rectas NT y r y obtenemos en su intersección con OT el centro O1 del arco buscado desde donde trazamos una perpendicular a r para localizar T1, punto de enlace de dicho arco con r.  Figura 5

Aplicación de las tangencias. Enlaces de circunferencias y rectas conociendo el punto de tangencia
Aplicación de las tangencias. Enlaces de circunferencias y rectas conociendo el punto de tangencia

Dada una recta y una circunferencia enlazarlas mediante un arco conocido el punto de tangencia en la recta

Dada la circunferencia de centro O, la recta r y el punto T de enlace en esta, trazamos una perpendicular a r por T, transportando sobre la misma y a continuación de T el radio R de la circunferencia dada, obteniendo N que unimos con O, trazamos la mediatriz de ON que corta a la normal TN en O1, centro del arco buscado.

Uniendo O1-O obtenemos el punto T1 de enlace entre la circunferencia y el arco. Figura 6

Estos ejercicios se resuelven de un modo más práctico aplicando la inversión a las tangencias como vimos en este tema.

Resolvemos de este modo en la figura 5b en enlace entre una recta y una circunferencia conociendo el punto de tangencia sobre la circunferencia y sobre la recta en la figura 6b.

Aplicación de las tangencias. Enlaces de circunferencias y rectas conociendo el punto de tangencia. Resueltos por inversión
Aplicación de las tangencias. Enlaces de circunferencias y rectas conociendo el punto de tangencia. Resueltos por inversión

Dada una recta y un arco de circunferencia, enlazarlas mediante un arco de radio conocido

Dada la recta r, la circunferencia de centro O y radio Ro y el radio «d» del arco de enlace, trazamos a r una paralela a distancia «d» que se cortará en O1, centro del arco, con una circunferencia auxiliar de centro O y radios Ro-d.

Trazamos una normal a r desde O1 para determinar T1 y unimos O y O1 para determinar T2, puntos de enlace del arco con la recta y la circunferencia respectivamente. Figura 7

Aplicación de las tangencias. enlazar Recta y circunferencia mediante un arco de radio conocido
Aplicación de las tangencias. Enlazar recta y circunferencia mediante un arco de radio conocido

Enlazar dos circunferencias mediante un arco de radio conocido

Dadas las circunferencias O1 y O2 de radios R1 y R2 respectivamente, y el radio «d» del arco de enlace, trazamos dos arcos auxiliares de centros O1 y O2 y radios R1+d y R2+d respectivamente, estos se cortan en O, centro del arco de enlace.

Unimos O con O1 y O2 y obtenemos T1 y T2, puntos de enlace. Si operamos con arcos auxiliares de radios d-R1 y d-R2, obtenemos otra solución. Figura 8

Aplicación de las tangencias. Enlazar dos circunferencias mediante un arco de radio conocido
Aplicación de las tangencias. Enlazar dos circunferencias mediante un arco de radio conocido

Enlazar por medio de arcos de circunferencia varios puntos no alineados

Dados los puntos A, B, C, D, E y F y el radio del primer arco de enlace «d», unimos estos entre sí ordenadamente mediante segmentos y trazamos sus mediatrices.

Con centro en A y radio d, trazamos un arco que determina en su intersección con la mediatriz de segmento AB, O1, centro del primer arco de enlace que trazamos de A a B. Unimos O1 con B y prolongamos hasta cortar a la mediatriz del segmento siguiente BC en O2, centro del segundo arco de enlace y de radio O2-B2, que trazamos hasta C, tercer punto dado.

Unimos O2 con C y prolongamos hasta cortar a la mediatriz del siguiente segmento, el CD en O3, centro del tercer arco, de radio O3 C y que trazamos hasta D. De igual modo seguimos trabajando para el resto de los puntos dados. Figura 9

Aplicación de las tangencias. Enlazar por medio de arcos de circunferencia varios puntos no alineados
Aplicación de las tangencias. Enlazar por medio de arcos de circunferencia varios puntos no alineados

Dadas dos circunferencias, enlazarlas por un arco conocido el punto de tangencia en una de ellas

Dadas las circunferencia de centros O1, O2 y radios R1, R2 y el punto T de tangencia en una de ellas.

En el primer ejemplo trazamos un par de radios paralelos y unimos sus extremos del mismo sentido (A-A’) hasta cortar en la recta unión de centros en el centro de homotecia directo H+. Desde él trazamos por T una recta hasta cortar en T’ a la otra circunferencia. Unimos T y T’ con sus centros hasta cortarse en O, centro del arco buscado.

En el segundo ejemplo trazamos un par de radios paralelos y unimos sus extremos de sentido contrario (A-A’) hasta cortar en la recta unión de centros en el centro de homotecia inverso H-. Desde él trazamos por T una recta hasta cortar en T’ a la otra circunferencia. Unimos T y T’ con sus centros hasta cortarse en O, centro del arco buscado.

En este ejemplo además hemos repetido la operación para el punto de tangencia T2, obteniendo T2′ y el centro del arco C obteniendo así un segundo arco tangente a ambas circunferencias.

Este ejercicio está basado en las propiedades de la inversión, tiene más soluciones para centros de homotecia inversos y puedes ver la teoría con detalle aquí.

Aplicación de las tangencias. Enlazar dos circunferencias mediante un arco, conociendo el punto de tangencia. inversión
Enlazar dos circunferencias mediante un arco, conociendo el punto de tangencia. Inversión directa (H+) e inversa (H-)

Dadas dos rectas enlazarlas mediante dos arcos, conocido el radio de uno de ellos y los puntos de tangencia sobre las rectas

Dadas las rectas «r», «s», los puntos de tangencia T1 y T2 en cada una de ellas y el radio de uno de los arcos R1.

Trazamos normales a «r» y «s» por T1 y T2, llevando R1 a partir de T1, obteniendo sobre la normal correspondiente O1, centro del primer arco.

A partir de T2 llevamos sobre la normal trazada también R1, obteniendo el punto N que unimos con O1.

La mediatriz de N-O1 determina en su corte con la normal que pasa por T2 el centro O2.

El punto de enlace de O1 y O2 es T y se encuentra sobre el segmento que los une. Figura 11

Aplicación de las tangencias. enlazar dos rectas mediante dos arcos, conocido el radio de uno de ellos y los puntos de tangencia sobre las rectas
Aplicación de las tangencias. enlazar dos rectas mediante dos arcos, conocido el radio de uno de ellos y los puntos de tangencia sobre las rectas

Casos más habituales

Enlaces mediante rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio

Esta situación es bastante habitual, tenemos dos circunferencias y hay que trazar rectas comunes tangentes a ambas. Se puede resolver por diferencia de radios pero en esta ilustración está resuelto por centro de homotecia, pues en él convergen las rectas comunes exteriores buscadas. Esta explicado aquí.

Figura 12

Enlaces mediante Rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio
Enlaces mediante rectas tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio

Enlazar recta y circunferencia conociendo el punto de tangencia en uno de los dos elementos y enlazar dos circunferencias conociendo el punto de enlace en una de ellas, mediante Inversión.

A menudo nos piden trazar los enlaces por unos puntos determinados. Esos enlaces son los más complicados de este tipo de ejercicios pues nos obligan a saber un poco más de teoría. Pueden estar situados en rectas o en circunferencias. Estos ejercicios se pueden resolver de varias maneras: por centro radical, por diferencia de radios o por inversión, como en este ejemplo. Puedes ver la explicación de la inversión aquí.

Figuras 13 y 14

Enlaces de rectas y circunferencias y de circunferencias entre sí mediante inversión
Enlaces de rectas y circunferencias y de circunferencias entre sí mediante inversión

Enlaces de rectas concurrentes conociendo el punto de tangencia o el radio del arco de enlace

Este ejercicio es muy básico pero se utiliza con muchísima frecuencia y por eso lo destaco. Está explicado en esta misma página un poco más arriba. Son dos ejercicios unidos, en el primero enlazamos 2 rectas concurrentes conociendo el punto de tangencia en una de ellas (bastará con pasar por el punto una perpendicular a la recta hasta que corte a la bisectriz), y en el segundo nos dan un punto de tangencia –t4– y el radio del arco de enlace. Trazamos una paralela a la distancia dada hasta cortar a la perpendicular por T4 a r.

Figura 15

Enlaces de rectas concurrentes conociendo el punto de tangencia o el radio del arco de enlace
Enlaces de rectas concurrentes conociendo el punto de tangencia o el radio del arco de enlace

Ejemplos

Un par de ejercicios resueltos. Tenéis más recursos (vídeos, láminas y ejercicios paso a paso en Mongge) al final de este mismo tema.

Ejercicio 1

Se da el croquis acotado de una forma técnica. Reproducir a escala 1/1 dejando reseñadas todas las construcciones auxiliares que se presenten. Los puntos de tangencia deben resaltarse mediante un pequeño trazo. Figura 16

Esta figura no tiene puntos complicados. Las rectas tangentes LK y PQ son tangentes comunes exteriores e interiores a dos circunferencias definidas, se han resuelto mediante los centros de homotecia directo H+ e inverso H-.

 

Aplicaciones de las tangencia. Enlaces. Ejercicio 1. Reproducción a escala de un croquis
Aplicaciones de las tangencia. Enlaces. Ejercicio 1. Reproducción a escala de un croquis

Ejercicio 2

Se da el croquis acotado de una llave de apriete. La ranura superior se ha practicado sobre un óvalo de cuatro centros. Reproducir a escala 1/1 dejando reseñadas todas las construcciones auxiliares que se presenten.

Los puntos de tangencia deben resaltarse mediante un pequeño trazo. Utilícese el centro “O” para centrar la forma en el formato. Figura 17

Aplicaciones de las tangencia. Enlaces. Ejercicio 2. Reproducción a escala de un croquis
Aplicaciones de las tangencia. Enlaces. Ejercicio 2. Reproducción a escala de un croquis
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