Transformaciones geométricas. Semejanza y escalas

Semejanza

Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación de proporcionalidad que existe entre segmentos homólogos.

K=A’B’/AB

De tal modo que, si K>1 la figura semejante es mayor que la original, igual si K=1 y menor si K<1. (Fig. 39)

figuras semejantes mayor y menor que la original
Figuras semejantes mayor y menor que la original

Cuando 2 figuras semejantes están alineadas con un punto fijo O, se denominan homotéticas, siendo O el centro de homotecia.

Al igual que pasa con la homotecia, la semejanza puede ser directa o inversa. No todas las figuras semejantes son homotéticas pero sí al revés.

Dos triángulos son semejantes:
  • Cuando tienen 2 ángulos respectivamente iguales.
  • Cuando tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ambos igual.
  • Cuando tienen sus tres lados proporcionales

Construcción de figuras planas semejantes

Por homotecia, conociendo la razón de semejanza positiva K= 4/3

Ubicamos el centro de homotecia donde queramos y procedemos como en el caso de figuras homotéticas. (Fig. 40)

Semejanza. Por homotecia, conociendo la razón de semejanza positiva K= 4/3
Semejanza. Por homotecia, conociendo la razón de semejanza positiva K= 4/3
Por homotecia, conociendo la razón de semejanza negativa K= – 4/3

Ubicamos el centro de homotecia donde queramos y procedemos como en el caso de figuras homotéticas. (Fig. 41)

Semejanza. Por homotecia, conociendo la razón de semejanza negativa K= - 4/3
Semejanza. Por homotecia, conociendo la razón de semejanza negativa K= – 4/3
Por el sistema de la cuadrícula, conociendo la razón de semejanza K= 3/2

El método consiste en construir una cuadricula sobre la figura dada, que nos permita reconstruir aproximadamente la figura semejante deseada sobre otra cuadrícula de proporción 3/2. Es un método muy útil para figuras que no admitan un trazado sistematizado como la del ejemplo. (Fig. 42)

Semejanza. Por el sistema de la cuadrícula, conociendo la razón de semejanza K= 3/2
Semejanza. Por el sistema de la cuadrícula, conociendo la razón de semejanza K= 3/2

Escalas

Conviene a veces, cuando se va a representar un objeto, aumentarlo o reducirlo con relación a su tamaño original. ya sea porque no nos cabe, o por ser demasiado pequeño. La escala nos permite establecer esta relación entre el dibujo y la pieza original.

E=Dibujo/realidad; E=D/R

La escala se puede expresar en forma de fracción, como la homotecia y semejanza, o en modo decimal.

En cualquier caso, y para obtener las dimensiones del dibujo a escala, basta con multiplicar las medidas reales por la escala dada.

Tipos de escalas

  • Escala natural. E=D/R=1
  • Escala de ampliación. E=D/R>1 (E=4/3)
  • Escala de reducción. E=D/R<1 (E=1/2)

Paso de una escala a otra

En ocasiones, un dibujo está representado a una escala y conviene pasarlo a otra.

Por ejemplo, tenemos un dibujo a escala 3/5 (muy reducida) y queremos pasarlo a escala 6/5 (Escala casi natural).  Obtendremos primero las verdaderas magnitudes originales deshaciendo la escala multiplicando las medidas del dibujo ya dado por 5/3 (la fracción inversa de 3/5 aplicada) para aplicarles después la escala deseada para el nuevo dibujo (6/5).

Es decir, primero multiplicamos por 5/3 y después por 6/5. Esta operación la podemos realizar de un solo paso para cada medida si operamos primero:

(5/3)*(6/5) = 30/15 = 6/3 = 2/1 = 2

Multiplicando por 2, en este caso, las medidas del dibujo dado a escala, obtenemos las medidas del dibujo a la nueva escala 6/5 sin tener que obtener las verdaderas magnitudes en un paso intermedio.

Obtención de escalas gráficas

Escala de ampliación

Dada la escala 8/5=1’6, si tomamos el centímetro como unidad de medida tenemos que 1 cm de la realidad se amplían a 1’6 cm en nuestro dibujo a escala.

Para construir la escala gráfica, dibujamos varias veces esta medida de 1’6 cm. Cada una de estas medidas se corresponderá, en nuestra escala 8/5, con un centímetro de la realidad.

Para obtener escalas gráficas también de los milímetros, dividimos una de estas medidas de 1’6 cm en 10 partes mediante tales. (Fig. 43)

Escala de reducción

Representaremos gráficamente la escala 1/8=0’125. Por cada unidad de la realidad representaremos 0’125 unidades en el dibujo. Como la escala reduce mucho tomaremos 100 cm de la realidad (1 metro) que nos supondrán 12’5 cm en el dibujo.

Para obtener la escala gráfica dibujamos un segmento de 12’5 cm y lo dividiremos en 10 partes para obtener la representación en el dibujo de cada decímetro de la realidad. Aplicando la contraescala como en el caso anterior obtendremos también los centímetros a escala. (Fig. 44)

Figura 44. Escala gráfica de reducción E= 1/8 = 0,125
Figura 44. Escala gráfica de reducción E= 1/8 = 0,125

Triángulo universal de escalas

Partimos de un triángulo rectángulo isósceles ABD con catetos de 10 cm divididos  y graduados en 1o partes. Trazamos paralelas al cateto CB por las graduaciones de AB y unimos A con las divisiones de CB. Obtenemos de este modo escalas gráficas de reducción por encima del segmento CB y de ampliación por debajo. La primera de 1/10 pues queda reducido el segmento CB a la décima parte, la segunda de 2/10, de 3/10 la tercera y así sucesivamente. (Fig. 45)

Triángulo universal de escalas
Triángulo universal de escalas

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