Curvas cónicas. Elipse

La elipse es una curva cónica cerrada, plana y simétrica respecto a sus ejes mayor y menor, perpendiculares entre sí. Es el resultado de la sección de un cono por un plano oblicuo a su eje de simetría con ángulo mayor que el que forma la generatriz del cono respecto al eje de revolución.

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2= cte=2a.

Su excentricidad es siempre menor que la unidad.

Elementos y características

La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual distancia de su punto medio.

El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal (perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios.

La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c).

Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y se designan r y r’.

Circunferencias focal y principal de la elipse

Existen otra serie de elementos ‘ocultos’ decisivos en el trazado de elipses y tangentes a estas a saber:

  • La Circunferencia Principal, de diámetro igual al eje mayor y centro en el centro de la elipse.
  • Circunferencias Focales, de centro en los focos y radio de longitud igual al eje mayor de la elipse.

Si consideramos una recta “sT” tangente a la elipse, observaremos que los puntos simétricos de los focos, respecto de esta tangente (F1’, simétrico de F1), pertenecen a la circunferencia Focal de centro en el otro foco F2.

Por otra parte, las intersecciones de las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier tangente trazada a la elipse, pertenecen a la Circunferencia Principal.

Elipse. Elementos
Elipse. Elementos

Diámetros de la elipse. Diámetros conjugados

Se denomina Diámetro de la Elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.

Son Diámetros Conjugados en la elipse aquellos en donde cada uno de ellos divide en dos partes iguales a las cuerdas de la elipse trazadas paralelas al otro. Se cortan en su punto medio. Los ejes son los únicos diámetros conjugados normales entre sí.

Dado un diámetro de la elipse A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado. Figura 2

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Diámetros conjugados de la elipse
Diámetros conjugados de la elipse

Determinación de los focos, conociendo los ejes

Trazamos los ejes perpendiculares entre sí por su punto medio y con centro en uno de los extremos del eje menor “C” dibujamos un arco de radio igual al semieje mayor que corta a este en F2 y F1, focos de la elipse.

Los extremos de los ejes son puntos de la elipse por lo que los radios vectores que concurren en C deben de sumar la longitud del eje mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje mayor se verifica efectivamente que F1 C+F2 C=2a, Figura 3

Obtención Focos de la elipse y construcción por afinidad con la circunferencia
Obtención focos de la elipse y construcción por afinidad con la circunferencia

Trazado de elipses

A continuación estudiaremos algunos de los métodos que se pueden utilizar para trazar elipses.

Construcción de elipses conociendo los ejes

Método de proyección de puntos (Afinidad entre la Circunferencia Principal y la Elipse)

Dibujamos dos circunferencias de diámetros iguales a los ejes de la cónica y centro en O. Trazamos varios diámetros comunes a ambas circunferencias.

Por los puntos de intersección de estos diámetros con la circunferencia mayor (Circunferencia Principal) (ej.: x), trazamos normales al eje mayor.

Trazamos normales al eje menor donde estos diámetros corten a la circunferencia de radio menor (ej: y).

Las intersecciones correspondientes entre sí (X-P1 y Y- P1) de estas perpendiculares trazadas determinan puntos de la elipse (P1, P2, P3, P4). Figura 4

La construcción se basa en la afinidad existente entre la circunferencia de radio mayor y la elipse, donde el eje de afinidad coincide con el mayor de la elipse y la dirección de afinidad es normal a este.

Método de construcción por puntos (Intersección de radios vectores)

Dibujados los ejes y determinados los focos, situamos arbitrariamente puntos entre uno de los focos y el centro de la elipse sobre el eje mayor (1, 2, 3, etc.).

Con radios A-1 y B-1 trazamos 4 arcos de circunferencia de centros F1 y F2.

La circunferencia de centro F1 y radio A-1 y la de centro F2 y radio B-1 se cortan en dos puntos de la elipse. Obtenemos dos puntos más con arcos de igual radio pero centros alternativos (F2 para A-1 y F1 para B-1), simétricos de los anteriores respecto a los ejes de la elipse.

Con radios A-2 y B-2 procedemos de igual modo y así sucesivamente con el resto de los puntos trazados entre el foco y el centro de la elipse.

Uniendo A, B, C y D, extremos de los ejes que son también puntos de la elipse, con los puntos obtenidos mediante plantilla de curvas, obtenemos el trazado de la elipse. Figura 5

Método de intersección de rectas (Intersección de haces proyectivos)

Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y construimos un paralelogramo rectángulo de este modo.

Dividimos el eje mayor en un número cualquiera de partes iguales (1, 2, 3,…) y los lados del paralelogramo paralelos al eje menor en ese mismo número de partes.

Unimos los extremos C y D del eje menor con todas las divisiones efectuadas sobre el eje mayor y con las divisiones efectuadas sobre los lados contrarios del rectángulo que estén entre ellos y el eje mayor.

Las intersecciones entre rectas correspondientes (eje: D-3, eje C-1, lado) determinan puntos de la elipse que se delineará como en el ejercicio anterior. Figura 6

Trazado de elipses. Método de construcción por puntos, de intersección de rectas y de proyección de puntos.
Construcción de la elipse por intersección de radios vectores y haces proyectivos

Mediante Circunferencia Principal

Trazamos la circunferencia principal y uno cualquiera de sus diámetros (XY), trazamos por uno de sus extremos una cuerda que pase por uno de los focos de la elipse (XW) y unimos el otro extremo del diámetro Y, con el extremo W de la cuerda.

La intersección de una paralela trazada por F1 al diámetro XY, con el segmento WY, determina un punto P de la elipse, repitiendo la construcción con otros diámetros, obtenemos otros puntos de la curva. Figura 7

Mediante Circunferencia Focal

Dibujamos una de las dos Circunferencias Focales (en el ejemplo la de centro F1) y tomamos de ella varios puntos arbitrarios (P1, P2…) que unimos con los focos.

Trazamos las mediatrices de los segmentos así obtenidos (F1P1, F1P2) –que no serán sino rectas tangentes a la elipse–.

Las intersecciones de estas rectas con los otros segmentos trazados (que son radios vectores) determinarán diferentes puntos de la elipse –que no son sino los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas, sobre la curva–.

A mayor número de puntos tomados sobre la Circunferencia Focal, mayor número de puntos de la elipse y por tanto mayor precisión en su trazado. Figura 8

Construcción de la elipse mediante circunferencia principal y focal
Construcción de la elipse mediante circunferencia principal y focal

Trazado de elipses conociendo los diámetros conjugados

Construir la elipse conociendo dos diámetros conjugados

Dados los diámetros conjugados AB y CD, trazamos la circunferencia de diámetro AB, extremos del diámetro conjugado mayor.

Dividimos este diámetro en cualquier número de partes, por donde trazamos cuerdas de la circunferencia perpendiculares a AB, y el diámetro C’D’ por el centro de AB.

El ejercicio se resuelve por afinidad entre la circunferencia y la elipse, siendo la dirección de afinidad C-C’ o D-D’, segmentos de unión de los extremos del diámetro conjugado menor con los extremos del diámetro C’D’ correspondientes.

Trazamos paralelas a la dirección de afinidad por los extremos de las cuerdas de la circunferencia, la intersección de estas rectas con las rectas paralelas trazadas al diámetro conjugado menor por las intersecciones de las cuerdas y el diámetro conjugado mayor, determinan puntos de la elipse. Figura 9

Construir la elipse conociendo dos diámetros conjugados iguales

Trazamos paralelas por los extremos de los diámetros conjugados dados y obtenemos así un paralelogramo rombo.

Dibujamos un cuadrado de lado igual al del rombo a continuación de uno de los lados de este y trazamos su circunferencia circunscrita.

Trazamos las diagonales en el rombo y en el cuadrado y trasladamos a las diagonales del rombo las intersecciones producidas por la circunferencia en las diagonales del cuadrado según paralelas a los correspondientes lados de ambos cuadriláteros.

Los puntos así obtenidos son junto a A, B, C y D puntos de la elipse. Podemos obtener más puntos trazando más divisiones en la circunferencia. Figura 10

Construcción la elipse a partir de los diámetros conjugados y conociendo dos diámetros conjugados iguales
Construcción la elipse a partir de los diámetros conjugados y conociendo dos diámetros conjugados iguales

Trazado de la elipse conociendo su excentricidad, la directriz y el foco correspondiente a la directriz dada

Sabemos que la excentricidad en cualquier curva cónica es igual a la razón de distancias existentes desde un punto de la curva a un foco y a la directriz correspondiente a este foco.

En el caso de la elipse el valor de la excentricidad es siempre menor que la unidad. S = (AF2/AD2)<1.

La directriz y el eje mayor de la elipse son por otro lado, normales entre sí.

Conocida la directriz, el foco y la excentricidad, trazamos una normal por F1 a la directriz que contendrá al eje mayor y partir de X, intersección de ambas rectas, llevamos sobre la directriz, a partir de X y en ambos sentidos un segmento igual a la unidad U obteniendo los puntos Y y Z.

Sumando y restando a partir de estos puntos el valor E de la excentricidad dada obtenemos los puntos W a ambos sentidos del eje.

Unimos W y -W con F1 y trazamos paralelas a estos segmentos por Y y Z, obteniendo sobre el eje mayor los vértices V1 y V2 de la elipse (extremos del eje mayor).

Por ser V1 y V2 puntos de la elipse, se debe cumplir S = (VF2/VD1), es decir que el cociente entre la distancia de cualquiera de ellos, v1, por ejemplo al foco y directriz dados de base igual a la excentricidad dada. Figura 11

Siendo F1X y V1X las distancias de F1 y V1 a la directriz respectivamente, podemos expresar por proporcionalidad entre los triángulos WXF1 y YXV1 que (F1X/V1X)=(WX/YX) y puesto que WX y YX son la excentricidad S y unidad U tomadas respectivamente tenemos que efectivamente S=(F1X/V1X).

Trazado de la elipse conociendo su excentricidad, la directriz y el foco correspondiente a la directriz dada.
Trazado de la elipse conociendo su excentricidad, la directriz y el foco correspondiente a la directriz dada.

Determinación de los ejes de la elipse

Dados los diámetros conjugados de la elipse (AB y CD), determinar sus ejes

Trazamos por O una recta perpendicular al Diámetro Conjugado AB y trasladamos la magnitud OA a partir de O sobre esta recta obteniendo el punto M.

Unimos M con C y trazamos una circunferencia O1 de centro en el punto medio de MC y diámetro MC.

Trazamos otra circunferencia concéntrica de la anterior y radio O1 O que corta en N y S a la prolongación de MC.

Unimos N y S con O y obtenemos las direcciones de los ejes de la elipse, trazamos una recta OO1 que corta en R y T a la circunferencia de centro O1 y diámetro MC, las distancias OR y OT son iguales a las longitudes de los semiejes menor y mayor de la elipse respectivamente, trasladando estas magnitudes a partir de O obtenemos los vértices A’, B’, C’ y D’. Figura 12

Dada una elipse, determinar sus ejes

Trazamos dos cuerdas paralelas YX y VW y unimos sus puntos medios M y N prolongándolos hasta obtener EF, diámetro conjugado de la elipse y cuyo punto medio O es el centro de la elipse.

Con centro en O trazamos una circunferencia que corte a la elipse, obtenemos los puntos 1, 2, 3 y 4.

Las mediatrices de dos de los cuatro segmentos así obtenidos  (por ej. 1-2 y 2-3) determinan las direcciones de los ejes buscados. Figura 13

Determinación de los ejes de la elipse a partir de sus diámetros conjugados y de la representación de la propia curva respectivamente.
Determinación de los ejes de la elipse a partir de sus diámetros conjugados y de la representación de la propia curva respectivamente.

Trazado de rectas tangentes a la elipse

Por un punto de la elipse

Mediante Circunferencia Principal

Por el punto T dado, trazamos una perpendicular al eje mayor que determina en su prolongación T’ sobre la circunferencia principal.

Trazamos una recta tangente a la circunferencia principal por T’ que corta en n a la prolongación del eje mayor. La recta NT es la tangente buscada. Figura 14

La construcción se basa en la afinidad entre la circunferencia y la elipse, T y T’ son afines siendo el eje mayor el de afinidad, la dirección T’T y N un punto doble.

Por bisectriz de radios vectores y mediante Circunferencia Focal

Dada la elipse y el punto T de la misma, por donde tenemos que trazar la recta tangente.

Trazamos los radios vectores que contienen a T y prolongamos uno de ellos (F2T), la bisectriz de estos radios vectores que contienen al punto T de tangencia (F1T y la prolongación de F2T) es la recta tangente buscada.

Por definición, la recta tangente a una elipse en un punto de ella es la bisectriz del ángulo suplementario al formado por los radios vectores en ese punto.

También podemos calcular la recta tangente auxiliándonos de la Circunferencia Focal. Según hemos visto, el foco F1 es simétrico de X si consideramos como eje de simetría la propia recta tangente obtenida, siendo X un punto de la circunferencia focal de centro F2. Según esto, podemos obtener X (intersección de F2T y la circunferencia focal de centro F2) y trazar la mediatriz de F1 X que será la tangente buscada. Figura 15

Trazado de rectas tangentes a la elipse por un punto dado. Métodos afinidad circunferencia y circunferencia focal

Trazado de rectas tangentes a la elipse por un punto dado. Métodos afinidad circunferencia y circunferencia focal

Desde un punto exterior

Mediante Circunferencia Focal

Trazamos una circunferencia auxiliar de centro en el punto P exterior dado y radio PF1 o PF2 (según trabajemos con la circunferencia focal de centro F2 o F1, respectivamente) que cortará a la circunferencia focal correspondiente en los puntos X e Y.

Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F1, las mediatrices de los segmentos XF2 y XF1 son las rectas tangentes de la elipse desde P buscadas.

Los puntos de tangencia T1 y T2 de estas tangentes, con la elipse, están en la intersección de los segmentos F1X y F2X (radios vectores) con la propia elipse. Trabajando con la circunferencia focal de centro F2, obtenemos las mismas soluciones. Figuras 16 y 17

Trazado de rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior mediante circunferencias focales
Trazado de rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior mediante circunferencias focales

Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada

Dada la elipse y la dirección -r- trazamos la circunferencia focal en uno de los focos F1 y por el otro una recta perpendicular a la dirección dada r (esta perpendicular es homóloga a la circunferencia auxiliar del ejercicio anterior, si consideramos a dicha recta como una circunferencia de radio infinito), que corta en los puntos X e Y a la circunferencia focal.

Uniendo X e Y con F1 y F2 obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2 sobre la elipse por donde trazaremos paralelas a la dirección dada obteniendo de este modo las tangentes buscadas, que además son las mediatrices de los segmentos XF2 e YF2.

Trazado de rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada
Trazado de rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada
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