Curvas cónicas. Elipse

Elementos y características

La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual distancia de su punto medio.

El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal (perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios.

La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c).

Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y se designan r y r’.

Circunferencias focal y principal de la elipse

Existen otra serie de elementos ‘ocultos’ decisivos en el trazado de elipses y tangentes a estas a saber:

• La Circunferencia Principal, de diámetro igual al eje mayor y centro en el centro de la elipse.
• Circunferencias Focales, de centro en los focos y radio de longitud igual al eje mayor de la elipse.

Si consideramos una recta “sT” tangente a la elipse, observaremos que los puntos simétricos de los focos, respecto de esta tangente (F₁’, simétrico de F₁), pertenecen a la circunferencia Focal de centro en el otro foco F₂.

Por otra parte, las intersecciones de las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier tangente trazada a la elipse, pertenecen a la Circunferencia Principal.

Diámetros de la elipse. Diámetros conjugados

Se denomina Diámetro de la Elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.

Son Diámetros Conjugados en la elipse aquellos en donde cada uno de ellos divide en dos partes iguales a las cuerdas de la elipse trazadas paralelas al otro. Se cortan en su punto medio. Los ejes son los únicos diámetros conjugados normales entre sí.

Dado un diámetro de la elipse A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado. Figura 2

Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.

Trazamos los ejes perpendiculares entre sí por su punto medio y con centro en uno de los extremos del eje menor “C” dibujamos un arco de radio igual al semieje mayor que corta a este en F₂ y F₁, focos de la elipse.

Los extremos de los ejes son puntos de la elipse por lo que los radios vectores que concurren en C deben de sumar la longitud del eje mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje mayor se verifica efectivamente que F₁ C+F₂ C=2a, Figura 3

A continuación estudiaremos algunos de los métodos que se pueden utilizar para trazar elipses.

Dibujados los ejes y determinados los focos, situamos arbitrariamente puntos entre uno de los focos y el centro de la elipse sobre el eje mayor (1, 2, 3, etc.).

Con radios A-1 y B-1 trazamos 4 arcos de circunferencia de centros F₁ y F₂.

La circunferencia de centro F₁ y radio A-1 y la de centro F₂ y radio B-1 se cortan en dos puntos de la elipse. Obtenemos dos puntos más con arcos de igual radio pero centros alternativos (F2 para A-1 y F1 para B-1), simétricos de los anteriores respecto a los ejes de la elipse.

Con radios A-2 y B-2 procedemos de igual modo y así sucesivamente con el resto de los puntos trazados entre el foco y el centro de la elipse.

Uniendo A, B, C y D, extremos de los ejes que son también puntos de la elipse, con los puntos obtenidos mediante plantilla de curvas, obtenemos el trazado de la elipse. Figura 5

Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y construimos un paralelogramo rectángulo de este modo.

Dividimos el eje mayor en un número cualquiera de partes iguales (1, 2, 3,…) y los lados del paralelogramo paralelos al eje menor en ese mismo número de partes.

Unimos los extremos C y D del eje menor con todas las divisiones efectuadas sobre el eje mayor y con las divisiones efectuadas sobre los lados contrarios del rectángulo que estén entre ellos y el eje mayor.

Las intersecciones entre rectas correspondientes (eje: D-3, eje C-1, lado) determinan puntos de la elipse que se delineará como en el ejercicio anterior. Figura 6

Mediante Circunferencia Principal

Trazamos la circunferencia principal y uno cualquiera de sus diámetros (XY), trazamos por uno de sus extremos una cuerda que pase por uno de los focos de la elipse (XW) y unimos el otro extremo del diámetro Y, con el extremo W de la cuerda.

La intersección de una paralela trazada por F1 al diámetro XY, con el segmento WY, determina un punto P de la elipse, repitiendo la construcción con otros diámetros, obtenemos otros puntos de la curva. Figura 7

Mediante Circunferencia Focal

Dibujamos una de las dos Circunferencias Focales (en el ejemplo la de centro F1) y tomamos de ella varios puntos arbitrarios (P1, P2…) que unimos con los focos.

Trazamos las mediatrices de los segmentos así obtenidos (F1P1, F1P2) –que no serán sino rectas tangentes a la elipse–.

Las intersecciones de estas rectas con los otros segmentos trazados (que son radios vectores) determinarán diferentes puntos de la elipse –que no son sino los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas, sobre la curva–.

A mayor número de puntos tomados sobre la Circunferencia Focal, mayor número de puntos de la elipse y por tanto mayor precisión en su trazado. Figura 8

Dados los diámetros conjugados AB y CD, trazamos la circunferencia de diámetro AB, extremos del diámetro conjugado mayor.

Dividimos este diámetro en cualquier número de partes, por donde trazamos cuerdas de la circunferencia perpendiculares a AB, y el diámetro C’D’ por el centro de AB.

El ejercicio se resuelve por afinidad entre la circunferencia y la elipse, siendo la dirección de afinidad C-C’ o D-D’, segmentos de unión de los extremos del diámetro conjugado menor con los extremos del diámetro C’D’ correspondientes.

Trazamos paralelas a la dirección de afinidad por los extremos de las cuerdas de la circunferencia, la intersección de estas rectas con las rectas paralelas trazadas al diámetro conjugado menor por las intersecciones de las cuerdas y el diámetro conjugado mayor, determinan puntos de la elipse. Figura 9

Trazamos paralelas por los extremos de los diámetros conjugados dados y obtenemos así un paralelogramo rombo.

Dibujamos un cuadrado de lado igual al del rombo a continuación de uno de los lados de este y trazamos su circunferencia circunscrita.

Trazamos las diagonales en el rombo y en el cuadrado y trasladamos a las diagonales del rombo las intersecciones producidas por la circunferencia en las diagonales del cuadrado según paralelas a los correspondientes lados de ambos cuadriláteros.

Los puntos así obtenidos son junto a A, B, C y D puntos de la elipse. Podemos obtener más puntos trazando más divisiones en la circunferencia. Figura 10

Sabemos que la excentricidad en cualquier curva cónica es igual a la razón de distancias existentes desde un punto de la curva a un foco y a la directriz correspondiente a este foco.

En el caso de la elipse el valor de la excentricidad es siempre menor que la unidad. S = (AF₂/AD₂)<1.

La directriz y el eje mayor de la elipse son por otro lado, normales entre sí.

Conocida la directriz, el foco y la excentricidad, trazamos una normal por F₁ a la directriz que contendrá al eje mayor y partir de X, intersección de ambas rectas, llevamos sobre la directriz, a partir de X y en ambos sentidos un segmento igual a la unidad U obteniendo los puntos Y y Z.

Sumando y restando a partir de estos puntos el valor E de la excentricidad dada obtenemos los puntos W a ambos sentidos del eje.

Unimos W y -W con F₁ y trazamos paralelas a estos segmentos por Y y Z, obteniendo sobre el eje mayor los vértices V₁ y V₂ de la elipse (extremos del eje mayor).

Por ser V1 y V2 puntos de la elipse, se debe cumplir S = (VF₂/VD₁), es decir que el cociente entre la distancia de cualquiera de ellos, v1, por ejemplo al foco y directriz dados de base igual a la excentricidad dada. Figura 11

Siendo F1X y V1X las distancias de F1 y V1 a la directriz respectivamente, podemos expresar por proporcionalidad entre los triángulos WXF₁ y YXV₁ que (F₁X/V₁X)=(WX/YX) y puesto que WX y YX son la excentricidad S y unidad U tomadas respectivamente tenemos que efectivamente S=(F₁X/V₁X).

Trazamos por O una recta perpendicular al Diámetro Conjugado AB y trasladamos la magnitud OA a partir de O sobre esta recta obteniendo el punto M.

Unimos M con C y trazamos una circunferencia O₁ de centro en el punto medio de MC y diámetro MC.

Trazamos otra circunferencia concéntrica de la anterior y radio O₁ O que corta en N y S a la prolongación de MC.

Unimos N y S con O y obtenemos las direcciones de los ejes de la elipse, trazamos una recta OO₁ que corta en R y T a la circunferencia de centro O₁ y diámetro MC, las distancias OR y OT son iguales a las longitudes de los semiejes menor y mayor de la elipse respectivamente, trasladando estas magnitudes a partir de O obtenemos los vértices A’, B’, C’ y D’. Figura 12

Trazamos dos cuerdas paralelas YX y VW y unimos sus puntos medios M y N prolongándolos hasta obtener EF, diámetro conjugado de la elipse y cuyo punto medio O es el centro de la elipse.

Con centro en O trazamos una circunferencia que corte a la elipse, obtenemos los puntos 1, 2, 3 y 4.

Las mediatrices de dos de los cuatro segmentos así obtenidos  (por ej. 1-2 y 2-3) determinan las direcciones de los ejes buscados. Figura 13

Dada la elipse y el punto T de la misma, por donde tenemos que trazar la recta tangente.

Trazamos los radios vectores que contienen a T y prolongamos uno de ellos (F₂T), la bisectriz de estos radios vectores que contienen al punto T de tangencia (F₁T y la prolongación de F₂T) es la recta tangente buscada.

Por definición, la recta tangente a una elipse en un punto de ella es la bisectriz del ángulo suplementario al formado por los radios vectores en ese punto.

También podemos calcular la recta tangente auxiliándonos de la Circunferencia Focal. Según hemos visto, el foco F₁ es simétrico de X si consideramos como eje de simetría la propia recta tangente obtenida, siendo X un punto de la circunferencia focal de centro F2. Según esto, podemos obtener X (intersección de F₂T y la circunferencia focal de centro F₂) y trazar la mediatriz de F₁ X que será la tangente buscada. Figura 15

Trazamos una circunferencia auxiliar de centro en el punto P exterior dado y radio PF₁ o PF₂ (según trabajemos con la circunferencia focal de centro F₂ o F₁, respectivamente) que cortará a la circunferencia focal correspondiente en los puntos X e Y.

Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F₁, las mediatrices de los segmentos XF₂ y XF₁ son las rectas tangentes de la elipse desde P buscadas.

Los puntos de tangencia T₁ y T₂ de estas tangentes, con la elipse, están en la intersección de los segmentos F₁X y F₂X (radios vectores) con la propia elipse. Trabajando con la circunferencia focal de centro F₂, obtenemos las mismas soluciones. Figuras 16 y 17

Dada la elipse y la dirección -r- trazamos la circunferencia focal en uno de los focos F₁ y por el otro una recta perpendicular a la dirección dada r (esta perpendicular es homóloga a la circunferencia auxiliar del ejercicio anterior, si consideramos a dicha recta como una circunferencia de radio infinito), que corta en los puntos X e Y a la circunferencia focal.

Uniendo X e Y con F₁ y F₂ obtenemos los puntos de tangencia T₁ y T₂ sobre la elipse por donde trazaremos paralelas a la dirección dada obteniendo de este modo las tangentes buscadas, que además son las mediatrices de los segmentos XF₂ e YF₂.