Rectas tangentes a circunferencias

Una recta tangente a una circunferencia es siempre perpendicular al radio de la circunferencia que contiene al punto de tangencia. Basándonos en este principio y en algún otro concepto vamos a resolver diversos ejercicios de trazado de rectas tangentes a circunferencias.

1a. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella

Unimos el centro con el punto dado P por donde trazamos una perpendicular por cualquier método geométrico al radio obtenido OP. FIG. 1

Recta tangente a una circunferencia
Recta tangente a una circunferencia. Figuras 1 y 2

1b. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella cuando no se conoce el centro de la circunferencia

Trazamos con centro en T dado un arco de radio arbitrario y obtenemos A sobre la circunferencia, con centro en A y el mismo radio, trazamos otro arco hasta cortar en B a la circunferencia, con centro en T y radio TB trazamos un arco que corta en C al arco de centro A y radio AB, La recta que pasa por TC es la perpendicular buscada. FIG. 2.

2. Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior

Unimos el centro de la circunferencia con el punto P dado y trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro OP y centro M, punto medio del segmento OP. Esta circunferencia corta en T y T’ a la dada, puntos de tangencia buscados. Desde P trazamos rectas tangentes PT y PT’. Se justifica la construcción pues la circunferencia auxiliar es arco capaz de 90º para OP, T y T’ pertenecen a la circunferencia dada y a la auxiliar luego los ángulos OTP y OT’P son rectos y por tanto las tangentes normales a los radios correspondientes. FIG. 3.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. Figuras 3 y 4

3. Rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una dirección dada

Trazamos por O, centro de la circunferencia dada una recta normal a la dada r por cualquier procedimiento geométrico, esta recta corta en T y T’, puntos de tangencia a la circunferencia por donde pasamos las rectas tangentes a la recta r dada. FIG. 4.

4. Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio

Dadas las circunferencias O1 y O2 de radios R1 y R2.

1er método: Restamos a las dos circunferencias dadas el radio de la menor R1, quedando la de centro O2 reducida en una de radio R2-R1 y la de centro O1 reducida a un punto O1. Trazamos las rectas tangentes a la circunferencia de centro O2 y radio R2-R1 desde el punto exterior O1 (ejercicio 3)  obteniendo O1A y O1B. Trazamos paralelas a estas tangentes a distancia R1 y obtendremos las tangentes buscadas.

Los puntos de tangencia de las tangentes buscadas se encuentran en radios perpendiculares a las tangentes trazadas. Los puntos T2 y T2’, de las tangentes T1-T2 y T1’-T2’ respectivamente, están en los puntos de corte de los radios O2A y O2B con O2. FIG. 5.

Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio. Primer método

2º método: Determinamos el centro de homotecia directo H+ de estas circunferencias (auxiliándonos de dos radios de ellas, paralelos entre sí O1A y O2B), desde donde trazamos tangentes exteriores a ambas circunferencias como vimos en el ejercicio 3.

Podemos simplificar el trazado pues sabemos que las tangentes comunes exteriores están alineadas con el centro de homotecia directo, trazando T1 y T1’, obtenemos T2 y T2’ por prolongación de H+T1 y H+T1’. Para determinar con exactitud los puntos T2 y T2’, podemos trazar por O2 radios paralelos a O1T1 y O1T1’ respectivamente. FIG. 6.

Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio. Segundo método

5. Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio

Dadas las circunferencias O1 y O2 de radios R1 y R2.

1er método: Sumamos al radio R2 circunferencia de radio mayor, el radio R1. Trazamos la circunferencia de centro O2 y radio R1+R2. Y otra de diámetro O1O2 y centro M punto medio, ambas se cortan en A y B, puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde O1 a la circunferencia de centro O2 y radio R1+R2, las paralelas a estas tangentes a una distancia igual R1 son las tangentes buscadas. Para trazarlas calculamos previamente los puntos de tangencia: los segmentos O2A y O2B cortan a la circunferencia de radio mayor R2 en T2 y T2’, trazando paralelas a estos segmentos por O1 en sentido contrario obtenemos T1 y T1’. FIG. 7.

Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio. Primer método
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio. Primer método

2º método: Calculamos el centro de homotecia inversa de las dos circunferencias dadas H-, este punto pertenece al segmento unión de centros O1O2 y tiene la propiedad de que por él pasan las tangentes comunes e interiores a ambas circunferencias como sabemos.

Trazamos pues y desde H- tangentes a las dos circunferencias dadas. FIG. 8.

Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio. Segundo método
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