Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos. Problema de Apolonio II. 

21. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos exteriores (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P y Q, las circunferencias tangentes solución deben tener sus centros en la mediatriz del segmento PQ.

Tomamos una circunferencia C auxiliar que pase por P y Q y corte a O, determinamos su eje radical a partir de sus intersecciones con O = 1 y 2. El eje radical de las circunferencias que pasen por P y Q se cortará con el recientemente obtenido en M, centro radical de las dos soluciones. Trazamos rectas tangentes a O desde M y obtenemos T1 y T2 que unidos con O determinan en su prolongación al cortar a la mediatriz de PQ los centros O1 y O2. FIG. 24

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos exteriores
Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos exteriores. Figuras 24 y 25

22. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno exterior y otro en la circunferencia dada (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P en O y Q exterior, la circunferencia buscada debe tener su centro en la mediatriz PQ para contener a ambos, su punto de tangencia con O es P luego su centro O1 estará en la intersección del segmento OP y la mediatriz mencionada. FIG. 25

23. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno interior y otro en la circunferencia dada (PPC)

Dados O, Q exterior y P que será el punto de tangencia entre la circunferencia dada y la buscada, su centro O1 está en la intersección de la mediatriz de PQ y la recta definida por OP (O, O y P en línea recta). FIG. 26

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos interiores
Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos interiores. Figuras 26 y 27

24. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos interiores (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P y Q, procedemos como en la figura 21, calculamos el eje radical de las circunferencias que pasen por P y Q y su mediatriz. Trazamos una circunferencia auxiliar C que pase por P, Q y corte a O y trazamos el eje radical de C y O.

En la intersección de ambos ejes tenemos M, centro radical de la circunferencia O y las buscadas, desde donde trazamos tangentes T1 y T2 a O puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con O como vimos.

Uniendo O con T1 y T2 y prolongando estas rectas, determinamos O1 y O2 en su intersección con la mediatriz de PQ. FIG. 27

 


JUSTIFICACIÓN

  • PQ es eje radical de las circunferencias que pasen por estos puntos.
  • 1, 2 es eje radical de C auxiliar, O y las circunferencias tangentes a O.
  • M es centro radical de O-C y las circunferencias que pasen por PQ, las rectas tangentes desde él trazadas a todas ellas tienen igual potencia.
  • Todas las circunferencias secantes o tangentes a O y que pasen por PQ tienen como centro radical M.
  • Las circunferencias que buscamos pasarán por PQ y serán tangentes a O luego M es su centro radical. Las tangentes trazadas desde M a ellas tienen igual potencia y por tanto las rectas tangentes trazadas desde M a O, (T1 y T2), miden lo mismo (M-T1=M-T2).
  • O1 y O2 están en línea con OT1 y OT2 (dos circunferencias tangentes tienen su punto de tangencia alineado con el segmento que une sus centros), y sobre la mediatriz de PQ (lugar geométrico de las circunferencias que pasen por P y Q).

 

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