Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos. Problema de Apolonio II. 

21. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos exteriores (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P y Q, las circunferencias tangentes solución deben tener sus centros en la mediatriz del segmento PQ.

Tomamos una circunferencia C auxiliar que pase por P y Q y corte a O, determinamos su eje radical a partir de sus intersecciones con O = 1 y 2. El eje radical de las circunferencias que pasen por P y Q se cortará con el recientemente obtenido en M, centro radical de las dos soluciones. Trazamos rectas tangentes a O desde M y obtenemos T1 y T2 que unidos con O determinan en su prolongación al cortar a la mediatriz de PQ los centros O1 y O2. FIG. 24

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos exteriores
Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos exteriores. Figuras 24 y 25

22. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno exterior y otro en la circunferencia dada (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P en O y Q exterior, la circunferencia buscada debe tener su centro en la mediatriz PQ para contener a ambos, su punto de tangencia con O es P luego su centro O1 estará en la intersección del segmento OP y la mediatriz mencionada. FIG. 25

23. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno interior y otro en la circunferencia dada (PPC)

Dados O, Q exterior y P que será el punto de tangencia entre la circunferencia dada y la buscada, su centro O1 está en la intersección de la mediatriz de PQ y la recta definida por OP (O, O y P en línea recta). FIG. 26

Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos interiores
Circunferencias tangentes entre sí pasando por puntos interiores. Figuras 26 y 27

24. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos interiores (PPC)

Dada la circunferencia O y los puntos P y Q, procedemos como en la figura 21, calculamos el eje radical de las circunferencias que pasen por P y Q y su mediatriz. Trazamos una circunferencia auxiliar C que pase por P, Q y corte a O y trazamos el eje radical de C y O.

En la intersección de ambos ejes tenemos M, centro radical de la circunferencia O y las buscadas, desde donde trazamos tangentes T1 y T2 a O puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con O como vimos.

Uniendo O con T1 y T2 y prolongando estas rectas, determinamos O1 y O2 en su intersección con la mediatriz de PQ. FIG. 27

 


JUSTIFICACIÓN

  • PQ es eje radical de las circunferencias que pasen por estos puntos.
  • 1, 2 es eje radical de C auxiliar, O y las circunferencias tangentes a O.
  • M es centro radical de O-C y las circunferencias que pasen por PQ, las rectas tangentes desde él trazadas a todas ellas tienen igual potencia.
  • Todas las circunferencias secantes o tangentes a O y que pasen por PQ tienen como centro radical M.
  • Las circunferencias que buscamos pasarán por PQ y serán tangentes a O luego M es su centro radical. Las tangentes trazadas desde M a ellas tienen igual potencia y por tanto las rectas tangentes trazadas desde M a O, (T1 y T2), miden lo mismo (M-T1=M-T2).
  • O1 y O2 están en línea con OT1 y OT2 (dos circunferencias tangentes tienen su punto de tangencia alineado con el segmento que une sus centros), y sobre la mediatriz de PQ (lugar geométrico de las circunferencias que pasen por P y Q).

 

Contenido relacionado

Rectas tangentes a circunferencias

Tangentes a una circunferencia desde un punto exterior, por un punto y paralelas a una dirección. Tangentes comunes a dos circunferencias de distinto radio.

Circunferencias tangentes a rectas

El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados, que pueden ser circunferencias, puntos o rectas. Esto proporciona hasta diez tipos distintos de

Aplicación de las tangencias. Enlaces

Resolución de los diferentes tipos de enlaces que nos podemos encontrar. Casos más habituales, ejercicios de ejemplo y selección de los mejores vídeos y láminas.

Recursos o ejercicios para este tema

Los diez problemas de Apolonio
5/5
El problema de Apolonio y que tiene este enunciado: Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados. Este artículo es fruto de una colaboración entre dos áreas curriculares, Plástica y Matemáticas, que comparten un amplio campo de contenidos curriculares, y en él se resuelven los diez problemas de tangencias de Apolonio.
Tangencias Apolonio
5/5
Introducción y desarrollo los 10 casos de Apolonio. Estos casos se resuelven por 3 posibles métodos: MÉTODO DIRECTO, POTENCIA E INVERSIÓN.
videos tangencias
5/5
Lista de reproducción con diversos ejercicios de tangencias
5/5
Técnica: Software
Dirigido a ilustradores, diseñadores y cualquier persona interesada en el concept art, especialmente aplicado a videojuegos AAA. Aprenderás a realizar un escenario concept art con acabado profesional para un videojuego AAA a partir de un briefing real.
5/5
Técnica: Software
Aprenderás a planificar y gestionar tu proyecto de Lumion para que sea mucho más cómodo de editar y, además, sentar las bases de una buena colaboración: tanto con otras personas, como contigo mismo para compartir información en proyectos posteriores.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a profesionales de la arquitectura, estudiantes, artistas y a cualquier persona interesada en crear visualizaciones arquitectónicas. Crearás un modelo detallado de una casa vacacional.
5/5
Técnica: Software
Pack de cursos muy recomendados para introducirte en 3DsMax y Corona Renderer desde cero. Explicaciones muy claras y contenido de las sesiones muy interesante. Resulta muy fácil seguir las indicaciones.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a fotógrafos, diseñadores, ilustradores, concept artists, artistas de la industria del cine, los videojuegos o la publicidad y cualquier creativo que esté buscando desarrollar nuevas habilidades de retoque digital con Photoshop.
5/5
Técnica: Software
En este pack de 8 cursos aprenderás a manejar Revit desde cero para desarrollar tus propios proyectos arquitectónicos. Descubrirás las herramientas para crear muros, suelos, cubiertas y estructuras, además de planos y presentaciones realistas.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, ingenieros y cualquier persona que quiera empezar a modelar espacios en 3D y dar sus primeros pasos en el software líder de la metodología BIM, Revit. Al finalizar habrás creado un proyecto de vivienda completo, con todas las fases de diseño y modelación en Revit.
5/5
Técnica: Software
Al finalizar este Domestika Basics de AutoCAD, habrás aprendido todo lo necesario para crear tus proyectos arquitectónicos como un profesional.
5/5
Técnica: Software
Un excelente curso de Adobe Photoshop avanzado, muy fácil de entender y completamente recomendado para aquellos que deseen profundizar en esta excelente herramienta o quieran explorar este mundo de la edición y diseño digital.
5/5
Técnica: Software
Dirigido a arquitectos, diseñadores, fotógrafos, animadores y creativos en general con un nivel básico de 3D e interesados en la Arquitectura, la Fotografía y el Interiorismo. Al final del curso elaborarás una imagen del interior de una vivienda unifamiliar situada en un bosque.

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​

Subscríbete​

No te pierdas las nuevas actualizaciones en tu correo electrónico​