Curvas cónicas. Conceptos y tipos. Teorema de Dandelin. Directrices, excentricidad.

Curvas, definición

Se entiende por línea una sucesión de puntos o trayectoria de un punto en movimiento. Se considera línea recta cuando esta trayectoria tiene una dirección única y línea curva cuando ninguna porción de ella es recta.

Se dice que una línea tiene doble curvatura cuando no puede trazarse sobre un plano, como le sucede a la hélice.

Las Curvas se clasifican en Cónicas, fruto de la sección entre un plano y un cono, y Técnicas, estas últimas abarcan desde el Ovalo y Ovoide, Espirales, Evolventes y Hélices, a Curvas Cíclicas.

Curvas cónicas

Son las secciones producidas por un plano secante en una superficie cónica de revolución (Cono), según la posición relativa del plano y el cono, se obtienen tres curvas cónicas diferentes, Elipse, Parábola o Hipérbola.

Tipos de curvas cónicas

  • Obtenemos una Elipse cuando el ángulo ”a” que forma el plano secante Q con el eje del cono es mayor que el formado por las generatrices con el mismo eje “b”.
  • Obtenemos una Parábola cuando el ángulo el ángulo ”a” que forma el plano secante Q con el eje del cono que forma el plano secante con el eje es igual al formado por las generatrices con el eje “b”.
  • Obtenemos una Hipérbola cuando el ángulo ”a” que forma el plano secante Q con el eje del cono es menor que el ángulo formado por las generatrices con el eje “b”.
  • Cuando el plano secante pasa por el vértice del cono, en la intersección se producen dos generatrices rectas.
  • Cuando el plano secante es normal al eje, la sección es circular.
Tipos de curvas cónicas
Tipos de curvas cónicas

La Elipse es una curva cerrada y plana y se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante.

La Parábola es una curva plana, abierta de una rama, definida como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco, y de una recta denominada directriz.

La Hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas, definida como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos denominados focos es constante.

Teorema de Dandelin

El Teorema de Dandelin demuestra que los focos de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con dos esferas que están inscritas en la superficie cónica y son además tangentes a dicho plano.

Curvas cónicas. Teorema de Dandelin
Curvas cónicas. Teorema de Dandelin

Directriz de una curva cónica

Las esferas mencionadas en el teorema de Dandelin y el cono donde están inscritas, conectan entre sí según dos circunferencias, una para cada esfera.

Estas circunferencias pertenecen a dos planos respectivamente y que se denominan planos de contacto, siendo además normales al eje de la superficie cónica.

Las rectas intersección entre el plano secante que genera en el cono la curva cónica y los dos planos de contacto, se denominan rectas Directrices de la curva.

En la figura se detallan:

  1. Las dos esferas del teorema de Dandelin, O1 y O2.
  2. Los planos de contacto que éstas generan en combinación con la propia superficie cónica.
  3. Las rectas directrices D1 y D2, intersección de los planos de contacto y del plano secante que genera la curva cónica.
  4. Los focos F1 y F2 puntos de tangencia de las esferas con el plano secante.
  5. Los vértices de la curva V1 y V2.

En la representación del cono y sus elementos (SDO frontal, se abate la curva y se presenta en verdadera magnitud y forma.

La curva sección resultante en el dibujo es la Elipse pues el ángulo entre el plano secante y el eje es mayor que entre el eje y las generatrices del cono. La Elipse y la Hipérbola tienen dos rectas directrices y dos focos.

La Parábola tiene un solo foco y una sola recta directriz pues corta solamente a una rama del cono por ser paralelo el plano secante a una de las generatrices de este.

Excentricidad de una curva cónica

La directriz de una curva cónica y su foco correspondiente están entre sí relacionados de tal forma que la razón de distancias de un punto cualquiera de la curva “A” al foco y recta directriz correspondiente, es una cantidad constante que se denomina Excentricidad.

Como hemos visto, el foco es el punto de tangencia de una de las dos esferas de Dandelin con el plano secante, su directriz correspondiente es la intersección entre el plano secante y el plano de contacto perteneciente a la misma esfera que genera el foco.

En la Elipse, la excentricidad (S) es siempre menor que la unidad (AF2/AD2)<1, en la Parábola igual a la unidad (AF2/AD2)=1 y en la Hipérbola mayor a la unidad (AF2/AD2)>1. Conocida la excentricidad podemos determinar el tipo de curva de que se trata.

Cuando la sección cónica es una circunferencia los focos coinciden con el centro de la circunferencia y las directrices están en el infinito pues los planos de contacto y el secante son paralelos.

La excentricidad de la curva para un punto A se obtendría en este mediante el cociente de las distancias de dicho punto al centro (radio) y la distancia de A al infinito (r/∞ = 0), por lo que una circunferencia no tiene excentricidad.

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Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco y de una recta denominada directriz. Veremos los elementos de la parábola y sus propiedades, los diferentes trazados en base a los datos iniciales, así como los métodos para trazarle rectas tangentes.

Curvas cónicas. Hipérbola

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante. Veremos los elementos de la hipérbola y sus propiedades, los diferentes trazados en base a los datos iniciales, así como los métodos para trazarle rectas tangentes.

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