Geometría proyectiva. Homología y afinidad

Homografía

La homografía es una correspondencia biunívoca entre dos figuras que se relacionan mediante proyecciones y secciones según una ley determinada.

Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a todo punto y recta incidentes en una de las dos figuras le corresponden un punto y una recta también incidentes en la otra.

Dos figuras radiadas son homográficas cuando se corresponden recta a recta y plano a plano de tal forma que a toda recta y plano incidentes en una de las dos figuras le corresponden una recta y un plano también incidentes en la otra

Invariantes

La homografía respeta la incidencia (pasar por), y por tanto las intersecciones o tangencias. No respeta verdaderas magnitudes lineales o angulares ni la ordenación puntual.

Homología y secciones planas
Homología y secciones planas

HOMOLOGÍA

Definición

La homología es una transformación geométrica de una figura en otra coplanaria (Fig 1), de manera que se correspondan punto a punto y recta a recta respetando las siguientes leyes:

  • Dos puntos homólogos (A y A’) están alineados con un punto fijo (O) llamado centro de homología.
  • Dos rectas homólogas (AC, A’C’) se cortan en un mismo punto (N, punto doble) en una recta fija llamada eje de homología.
Elementos de una Homología
Elementos de una Homología

Elementos

Centro de Homología [O]

Es el punto de convergencia de las rectas que contienen a un punto y a su homólogo.

Eje de Homología [eje]

Es la recta doble formada por puntos que son homólogos de ellos mismos.

Puntos Homólogos [A-A’]

Son los que corresponden a la pareja de puntos formada por el inicial (A) y su transformado (A’).

Rectas límite [RL-RL’]

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen sus homólogos en el infinito. Hay dos recta límite, una para los puntos del espacio inicial A, B, C… y otra para los puntos de su espacio homólogo A’, B’, C’… Em ambos ‘lugares’ hay una serie de puntos que tienen su homólogo en el infinito. En esa ‘serie’ los puntos están alineados formando las rectas límite. Una –RL–  para el conjunto de puntos inicial A, B, C… y otra –RL’– para el conjunto de puntos homólogos o transformados A’, B’, C’…

En una homología establecida, cualquier punto situado sobre estas rectas tendrá, por tanto, su homólogo en el infinito.

  • Son las rectas que definen el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito que corresponden a las figuras inicial y transformada.
  • Siendo una homología una relación entre dos figuras, existen dos rectas límite, una por cada figura.
  • La distancia de una recta límite respecto al centro de homología es igual a la distancia de la otra recta límite respecto al eje de homología.

Determinación de rectas límite

Determinación de la recta límite del espacio inicial A, B, C… RL

Por el centro de homología se traza una recta paralela a un lado homólogo A’C’ y se prolonga el lado original AC hasta que corte a la paralela anterior en un punto X. Se traza por X una recta paralela al eje de homología, obteniendo así la recta límite RL. Figura 2

Determinación de la recta límite del espacio homólogo o transformado A’, B’, C’… RL’

La recta límite de la figura transformada A’, B’, C’… se determina siguiendo el mismo método aplicado a su homóloga A, B, C….

Como las rectas límites son siempre paralelas al eje de homología, también serán paralelas entre sí, además se puede comprobar en la figura 2 que la distancia entre una recta límite y el centro de homología es igual a la distancia que existe entre la otra recta límite y el eje.

Determinación de rectas límite
Determinación de rectas límite

Determinación de una homología

Para poder dibujar la figura homóloga de otra dada, la homología debe estar definida de alguno de los siguientes modos:

1. Dado el eje, el centro y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada.

Trazamos las rectas dobles OAA’, OB y OC. Prolongamos las rectas que constituyen los lados de la figura AC y BC (con dos es suficiente), obteniendo los puntos dobles N y M. Desde el punto doble N de AC, unimos con A’ homólogo de A y obtenemos la recta homóloga de AC, A’N, que corta a la doble OC en C’. Desde M unimos con C’ y en su prolongación corta a la doble OB en B’. Figura 3

Dado el eje, el centro y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada
Dado el eje, el centro y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada
2. Dado el eje, el centro y la recta límite de la figura dada.

La recta límite RL de ABC es el lugar geométrico de los puntos homólogos, (X, Y, W) de los puntos del infinito  de la figura A’B’C’ (X’ Y’ Z’).

Procedemos de forma inversa a la obtención de rectas límites, prolongamos una de las rectas de la figura ABC, la AC por ejemplo, que corta en X a su recta límite RL y en N al eje. Unimos OX y obtenemos la dirección de la homóloga de AC, A’C’. Trazamos una paralela a OX por N, punto doble de AC y lugar de donde debe salir su homóloga A’C’, en la intersección de A’C’ con las rectas dobles OA y OC, obtenemos A’ y C’. Figura 4

Dado el eje, el centro y la recta límite de la figura dada
Dado el eje, el centro y la recta límite de la figura dada
3. Dado el eje, la recta límite y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada.

Uniendo A con A’ obtenemos AA’, donde se corte con XO trazada paralela a NA tenemos O. X se obtiene prolongando AC, como en el caso 2º. Figura 5

Dado el eje, la recta límite y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada
Dado el eje, la recta límite y un punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada
4. Dadas las dos rectas límites y el centro de homología.

El eje estará en este caso a igual distancia de RL’ que RL de O (entre las rectas si O lo está, o exterior si esta es la posición de O). Determinado el eje, procedemos como en el caso 2º para dibujar la figura homóloga de ABC. Figura 6

Dadas las dos rectas límites y el centro de homología
Dadas las dos rectas límites y el centro de homología

Transformación homológica de un polígono.

Dado el polígono ABC, obtendremos su homólogo en un sistema definido por el centro de homología O, el eje y un punto C’ homólogo del C dado. Figura 7

Transformación homológica de un polígono, con uno de sus vértices en su recta límite

El punto A, está ahora situado en la recta límite RL (lugar geométrico de los puntos homólogos de los del infinito de la figura homóloga a ABC) calculada previamente y coherente con esta homología. El homologo de A, A’ estará por tanto en el infinito por lo que los lados del polígono que en el convergen, se mostrarán paralelos entre sí, y el polígono abierto. Figura 8

Transformación homológica de un polígono
Transformación homológica de un polígono

Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado

Dado el trapezoide escaleno ABCD, lo transformaremos homológicamente en un cuadrado.

Hemos de seleccionar la posición del centro de homología O, de la recta límite RL y del eje de homología (que definen en definitiva un coeficiente concreto) que hagan posible esta transformación.

1º. Puesto que los lados opuestos de un cuadrado son paralelos, se cortarán en el infinito, de aquí que los lados opuestos del cuadrilátero dado, han de cortarse en la recta límite RL, prolongándolos dos a dos hacia el lado que converjan, se cortan en X e Y, quedando definida la recta límite por XY.

En el ejercicio anterior comprobamos como la figura homóloga de otra que tenga un vértice en la recta límite, presenta los lados que convergen en este punto, ya transformado, paralelos. Es normal pues por la propia definición de recta límite, el homólogo de un punto perteneciente a su recta límite es impropio.

Para determinar la posición del centro que permita convertir el cuadrilátero en cuadrado observemos primero la transformación concluida. La recta límite de la figura ABCD dada se calcula como sabemos con las intersecciones de las direcciones de la figura A’B’C’D’ que pasan por el centro de homología y sus homólogas. Si conocemos el centro, podemos calcular la recta límite y viceversa.

Para calcular el centro de homología, trazaríamos paralelas a las direcciones del cuadrado A’B’C’D’ ya concluido (A’B’ y B’C’), por los puntos de intersección de sus homólogas AB y BC con RL, X e Y respectivamente, cortándose ambas en el centro O. X e Y son conocidas por nosotros, calculadas en 1º.

Las diagonales del cuadrado A’C’ y B’D’ también definen dos direcciones perpendiculares entre sí, sus paralelas por W y Z (conocidas) se cortarán en el mismo centro O.

Los ángulos que forman entre sí los lados del cuadrado contiguos y las diagonales, son rectos, por lo que el centro O está en la intersección de los arcos capaces de 90º trazados para los segmentos XY y WZ.

2º. El centro O está por tanto donde se corten los arcos capaces de 90º para los segmentos XY y ZW.

Podemos colocarlo por encima de RL o por debajo, en el primer caso dato y solución se van a superponer por lo que es preferible, si no se solicita lo contrario, colocar el centro siempre del lado contrario de la figura dada, y la recta límite entre ambos.

3º. La posición del eje, siempre paralelo a RL, intervendrá solamente en la magnitud de la figura homóloga a trazar, agrandándose esta a medida que el eje se aleja del centro O. A menudo solicitan que pase por un punto dado.

4º. Determinado el sistema, se traza la figura homóloga a la dada.

Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado
Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado

Homología de la circunferencia

La curva homóloga de una circunferencia, es necesariamente una cónica, elipse parábola o hipérbola según sea la posición de la circunferencia respecto al sistema.

Se transforma en elipse cuando la recta límite de la circunferencia es exterior a esta, en parábola cuando circunferencia y recta límite son tangentes entre sí y en hipérbola si son secantes.

En el primer caso, ningún punto homólogo de la circunferencia dada será impropio siendo por tanto el resultado una curva cerrada, en el segundo caso un punto homólogo de la circunferencia dada será impropio, el tangente a la recta límite resultando una curva abierta de una rama o parábola y en el tercer caso, serán dos los puntos homólogos de la circunferencia impropios (secantes) transformándose esta en una curva abierta de dos ramas o hipérbola.

Las rectas tangentes trazadas a la circunferencia seguirán siendo tangentes a la curva homóloga precisamente en los puntos homólogos a los de tangencia, igual sucederá con las secantes, esto es así pues la homografia respeta la incidencia como vimos en invariantes.

Si la circunferencia y su curva homóloga son secantes entre sí, la cuerda común es el eje de homología, siendo este tangente común de ambas cuando son tangentes entre sí.

La posición relativa del centro y eje de homología influirán el el tamaño y forma de la curva homóloga resultante.

Transformación homológica de la circunferencia en elipse

Dados: el centro de homología O, el eje de homología, la circunferencia y la recta límite, esta última exterior a ella para que la transformación sea una elipse.

Trazamos por O una recta cualquiera que corte a la recta límite dada en X, desde X trazamos tangentes a la circunferencia, obteniendo los puntos de tangencia T1 Y T2, los unimos y obtenemos en su prolongación sobre RL el punto Y. Desde Y trazamos tangentes a la circunferencia obteniendo T3 Y T4. Las rectas OX y OY determinan las direcciones de los ejes conjugados de la elipse homóloga a la circunferencia dada.

Prolongando las tangentes trazadas a la circunferencia, obtenemos sobre el eje los puntos dobles N, M, Ñ y L, desde donde trazamos paralelas a las mencionadas direcciones según corresponda obteniendo un cuadrilátero (paralelogramo rombóide) de direcciones paralelas a los diámetros conjugados* y circunscrito de la elipse.

Se llama diámetro de la elipse a cualquier cuerda que pase por su centro. Son diámetros conjugados los dispuestos de tal modo que cualquier cuerda trazada paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes por el otro. Los ejes son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre sí.

Trazando las rectas dobles que contengan a los puntos de tangencia, obtenemos sobre los lados del cuadrilátero mencionado correspondientes los homólogos de estos puntos, también tangentes a la elipse. Uniendo T3 con T4 y T1 con T2, obtenemos los diámetros conjugados de la elipse que se traza por métodos geométricos.

Transformación homológica de la circunferencia en elipse
Transformación homológica de la circunferencia en elipse

Homología afín o afinidad

La Afinidad es un caso particular de la Homología, denominamos así a una homología cuando su centro se encuentra en el infinito.

Las rectas dobles son ahora paralelas entre sí pues concurren en este centro de homología situado en el infinito. El centro de homología es sustituido ahora por una dirección, la dirección de afinidad.

El eje de homología pasa a denominarse eje de afinidad, los puntos homólogos, puntos afines y las rectas homólogas, rectas afines que se cortan sobre el eje de afinidad en los puntos dobles.

La afinidad queda determinada si conocemos el eje de afinidad, la dirección y un punto afín o razón de afinidad K (A’X/AX), relación de las distancias de dos puntos afines al origen de distancias (eje). Fig. 10

Elementos

  • Rectas dobles: AA’, BB’.
  • Rectas afines: BA de A’B’
  • Puntos afines: A de A’.
  • Eje de afinidad: E.
  • Dirección de afinidad: AA’.
  • Razón de Afinidad: K = Ax / A’x.
  • Origen de distancias en el eje.

En el ejemplo trazamos la figura afín A’B’C’, de otra dada ABC, para una dirección AA’, un eje de afinidad y una razón (K = A’X/AX) predeterminadas.

Homología afín. Afinidad. Elementos
Homología afín. Afinidad. Elementos
Aplicaciones

Son numerosas las aplicaciones de la afinidad en geometría plana y proyectiva, como la verdadera magnitud mediante abatimiento de un polígono representado en SDO sobre un plano oblicuo, simplificando por afinidad.

Determinación de una afinidad

Para poder calcular una determinada figura afín de otra dada necesitamos saber, ademas de la figura, alguna de estas combinaciones:

  1. El eje y un punto afín de la figura dada.
  2. El eje, la dirección de afinidad y la razón de afinidad.
Dado el eje y dos puntos afines A, A’, calcular el afín de otro dado B

Unimos A con A’ y obtenemos la dirección de afinidad, por B pasamos una paralela a dicha dirección, sobre ella debe estar situado B’.

Unimos AB y obtenemos en su prolongación el punto M doble, en el eje. Desde M unimos con A’ obteniendo la recta afín de AB que en su intersección con la doble que pasa por B, determina B’. Figura 12

Obtener el punto afín de B, B’, en la afinidad determinada por AA’, si A, A’ y B están alineados.

Trabajamos con un punto auxiliar P exterior a la recta AA’, del que determinamos P’ de igual forma que en el ejercicio anterior. Calculamos el afín de B auxiliándonos de PP’. Figura 13

Calcular punto afín a otro dado

Obtención de una figura afín a otra dada

Definidas la dirección, eje y razón de afinidad, no representa ningún problema, pero a menudo tendremos que averiguar nosotros estos datos para conseguir una figura afín concreta de otra dada.

Cuadrado afín de un romboide dado ABCD

Para definir el sistema, aprovecharemos las propiedades angulares de los lados y diagonales del cuadrado. El ángulo ABC del romboide, debe transformarse en recto y el ángulo ABD en uno de 45º que es el ángulo que forma la diagonal del cuadrado con uno de sus lados.

Prolongamos los lados del romboide hasta cortar al eje de posición arbitraria en M y N, puntos dobles. Trazamos una circunferencia de diámetro MN y centro en el eje. El ángulo A’B’C’ debe tener su vértice B’ en esta circunferencia, arco capaz de 90º.

El ángulo ß ABD debe transformarse en uno de 45º, prolongamos la diagonal BD que corta en S al eje, con vértice en S trazamos un ángulo (NSX) que abarque un central 2×45º=90º, prolongando el lado XS obtenemos B’ sobre la circunferencia. NB’S por ser inscrito vale la mitad que el central NOX comprendido entre sus lados, como el central vale 90º, el inscrito vale 45º.

B’ es por tanto el punto afín de B pues permite convertir el romboide en cuadrado.

El sistema queda definido por su eje, dirección de afinidad BB’ y razón pues conocemos un afín de la figura dada.

Trazamos las rectas afines de NAB, MBC, LDA y NDC, NA’B’, MC’B’, LD’A’ y ND’C’ respectivamente y obtenemos el cuadrado A’B’C’D’. Figura 14

Cuadrado afín de un romboide dado

Transformación de la circunferencia en elipse

Dados los ejes conjugados de la elipse AD y BE, que se cortan en su punto medio O, determinaremos el sistema para que la transformación afín de la elipse dada sea una circunferencia.

Dibujamos antes de nada el romboide circunscrito a la elipse, trazando paralelas a los diámetros conjugados por sus extremos.

Los diámetros conjugados pasarán a ser dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí tras la transformación, por lo que el ángulo EOD, o MON, será recto.

La diagonal del romboide OW, será diagonal del cuadrado circunscrito a la circunferencia tras la transformación, por lo que el ángulo MOW debe transformarse en uno de 45º.

Estamos pues ante la misma situación que en el ejercicio anterior. Trazamos por tanto la circunferencia de centro C y diámetro MN que debe contener al centro de la circunferencia tras la transformación O’.

Con vértice W, punto de corte de la diagonal con el eje, trazamos un ángulo NWX que abarque un central de 90º, la prolongación del lado XW determina en su corte con la circunferencia de centro C el punto O’, centro de la circunferencia buscada, siendo el ángulo WO’N de 45º por ser el inscrito correspondiente al central NWX de 90º.

Para determinar el radio de la circunferencia calculamos los afines de A, B, D y E, extremos de los diámetros normales entre sí, a partir de la dirección de afinidad OO’ y de las rectas afines ÁNGULO, A’N, etc. Figura 15

Transformación afín de circunferencia en elipse

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