Sistema diédrico. Intersecciones

Dos rectas que se cortan muestran las proyecciones de su punto de corte alineadas.

Intersección de planos

La intersección de dos planos P y Q, genera una recta I. El método general para calcular la intersección entre dos planos P y Q consiste en calcular las rectas intersección R, S, T y F de estos con otros dos auxiliares W y X de fácil trazado. Unimos seguidamente los puntos de intersección A y B de las rectas intersección pertenecientes a un mismo plano auxiliar y obtenemos de este modo la recta intersección I buscada. Fig. 47

Dados dos planos oblicuos P y Q, aplicaremos el método general comentado siendo en este caso los planos auxiliares a tomar X y W los de proyección vertical y horizontal y las rectas intersección de los auxiliares con los planos dados sus trazas correspondientes.

Así pues, la intersección de las trazas homónimas o correspondientes al plano vertical y la intersección de las trazas horizontales de ambos planos determinarán los puntos A y B anteriormente mencionados y que unidos definen como sabemos a la recta intersección I entre P y Q buscada.

Obsérvese que además, A y B se corresponden con las trazas vertical v’ y horizontal h de la recta en cuestión. Fig. 48

Intersección de plano oblicuo p con plano horizontal Q

La recta intersección resultante ha de pertenecer al plano horizontal Q dado luego será horizontal. También a de pertenecer al plano oblicuo P por lo que será una horizontal de P. Como sabemos, los planos y las rectas horizontales no presentan traza horizontal pues son paralelos al plano horizontal de proyección.

Empleamos el mismo método que en el ejercicio anterior y obtenemos la traza vertical v’ de la recta solución en la intersección de P’ y Q’, no podemos sin embargo operar de igual modo para calcular la traza horizontal de la recta horizontal solución pues Q no presenta traza horizontal pero sabemos que la recta horizontal, por pertenecer a P tiene que ser paralela a la traza horizontal de éste. Trazamos por tanto una recta horizontal de P que pase por v’. La proyección vertical de I, i’ coincidirá con la traza vertical de Q, Q’ pues éste es proyectante vertical. Fig. 49.

Intersección de plano oblicuo P, con plano frontal Q.

Este caso es idéntico al anterior, está resuelto en la Figura 50.

El trazado es idéntico al empleado para calcular la intersección entre dos planos oblicuos. Observaremos que la proyección vertical de I, i’, coincide con la traza vertical de Q por ser éste un plano proyectante vertical. Fig. 51

Esta intersección es similar a la anterior, resultando coincidentes en proyección diédrica la proyección horizontal i y la traza horizontal de Q, por ser este plano proyectante horizontal. Fig.52.

Se emplea el método general estudiado. Donde se cortan las trazas homólogas de los planos, tenemos las trazas de la recta intersección. Las proyecciones de la recta son coincidentes en este caso con las trazas de los planos por ser éstos proyectantes. Fig.53

La traza vertical de la recta v’ está en la intersección de las trazas verticales de los planos. La recta resultante será de punta siendo su proyección horizontal i perpendicular a la línea de tierra. La proyección vertical i’ coincide con v’. Fig. 54

Este caso es similar al anterior. La proyección vertical de la recta será perpendicular ahora a la línea de tierra por ser I una recta vertical y su proyección horizontal será un punto coincidente con la traza horizontal h por esta misma razón. Fig.55

Se procede según el método habitual y obtenemos v’ y h, trazas de la recta buscada. Fig.56

La intersección resultante será una recta paralela a la línea de tierra. No se puede proceder del modo habitual pues las trazas homónimas de los planos son paralelas entre sí. Podemos resolver este ejercicio por dos métodos:

Si trazamos un tercer plano oblicuo O y calculamos su intersección con los planos P y Q dados, obtenemos dos rectas intersección r y s una con cada plano, estas se cortarán en X punto por el que pasa la recta I que como sabemos a de ser paralela a LT. Fig. 57

Trazamos un plano de perfil O y abatimos las trazas con este Q” y P” sobre el plano vertical, ambas se cortarán en el punto X representado por su tercera proyección x” y que estará contenido en la recta solución. Obtenemos las proyecciones x y x’ del punto X y pasamos por ellas las proyecciones i’ y i de la recta solución, paralelas a LT. Fig. 58

Por tener los planos bisectores sus trazas confundidas con LT, no podemos proceder según el método habitual. Sabemos que todos los puntos pertenecientes a un bisector equidistan de los planos de proyección, es decir, tienen igual cota que alejamiento.

Para resolver este problema dibujaremos las proyecciones de un punto A perteneciente al plano bisector Q, primer bisector en el ejemplo y al propio plano P dado auxiliándonos de una recta del plano, en el ejemplo horizontal. A es un punto de la recta intersección solución pues pertenece a ambos planos (pertenece a P por estar situado en una recta horizontal del plano P y al bisector por tener igual cota que alejamiento), calculamos otro punto B por el mismo procedimiento quedando determinada la recta. Para mayor simplicidad, el punto B tomado es el de concurrencia sobre la línea de tierra de las trazas del plano P. B pertenece a P y al bisector. Fig. 59.

Las trazas, rectas intersección de los planos dados con los planos de proyección, se cortan fuera de los límites del dibujo de modo que no podemos operar como viene siendo habitual. Para resolver el problema empleamos el método general expuesto al comienzo del tema de intersecciones, tomando como auxiliares planos que no sean los de proyección como hasta ahora sino otros de sencillo trazado, generalmente horizontales o frontales. Pueden darse tres casos generales:

Tomamos como plano auxiliar un plano horizontal O, este corta a los dos dados P y Q en las rectas R y S siendo la intersección de ambas entre sí el punto A. Las trazas horizontales de los planos dados se cortan en el punto H. Uniendo los puntos H y A obtenemos la recta intersección buscada I. Fig. 60 En la figura 61, se resuelve el problema en sistema diédrico, las rectas R y S por pertenecer al plano horizontal O, son rectas horizontales de los planos Q y P respectivamente. La recta definida por las proyecciones de los puntos H y A (a’, a y h’, h) es la recta solución.

El ejercicio se resuelve en la figura 62 de igual modo que en el ejercicio precedente. Tomamos como plano auxiliar en este caso un plano frontal.

En este caso tomamos dos planos auxiliares que en el ejercicio de la figura 63 son frontales, estos generan con los planos dados P y Q dos rectas intersección cada uno, el plano O genera con los planos Q y P las rectas frontales R y S que se cortan en el punto A. El plano W genera con los planos Q y P dados las rectas frontales F y T que se cortan en el punto B. Uniendo las proyecciones diédricas homónimas de los puntos A y B obtenemos las proyecciones i’ e i de la recta I intersección de P y Q buscada. Fig 63.

Intersección recta plano

La intersección de una recta R y un plano Q es un punto A. Para saber dónde está situado este punto A, hacemos pasar por R, un plano cualquiera P auxiliar, generalmente proyectante y calculamos la intersección S de éste con el plano dado. El punto de corte de las rectas S obtenida y R dada, será el punto buscado. Fig. 64. Por ser el plano auxiliar tomado proyectante horizontal, las proyecciones horizontales de las rectas R dada, S intersección de los planos Q dado y auxiliar y el punto de intersección I, están contenidas en su traza horizontal P. Fig. 65

Dado el plano Q definido por el punto A en él contenido, para determinar su intersección con la recta R, trazamos un plano auxiliar F frontal que pase por A y uno proyectante horizontal P que contenga a R. El plano frontal F se corta con el plano Q dado generando la recta G frontal y con el plano P auxiliar la recta T vertical, ambas rectas pertenecen al plano frontal F y se cortan en el punto B. Uniendo el punto B hallado con el punto O perteneciente a los planos Q y P obtenemos la recta S perteneciente al plano P auxiliar y a Q dado. La recta S hallada, intersección de los planos Q y P y la recta R dada son coplanarias, ambas pertenecen al plano auxiliar P y se cortan en el punto X, punto de intersección buscado entre la recta R y el plano Q. Fig. 66.

El método para calcular puntos de intersección entre una recta y un plano consiste, como hemos visto, en hacer pasar por la recta un plano auxiliar que genere una intersección (recta) rápida sobre el plano dado, el punto de corte entre la intersección obtenida y la recta dada es el punto de intersección de la recta y el plano. Este ejercicio se resuelve de idéntico modo que el ejercicio anterior, siendo P el plano auxiliar y S la recta intersección obtenida. Su trazado se complica pues el plano dado pasa por la línea de tierra teniendo por tanto sus trazas coincidentes con esta, es por esto por lo que y para calcular la recta intersección S entre P y Q, tenemos que tomar el plano auxiliar frontal F y un punto O de la línea de tierra perteneciente a P. (Véase intersección de un plano con el primer bisector en este mismo tema).

La intersección de tres planos es un punto cuando los planos no son paralelos entre sí, un ejemplo lo es el propio ángulo triedro (ángulo formado por tres planos) formado entre los planos vertical, horizontal y de perfil del sistema diédrico, se generan tres rectas de intersección que concurren en un mismo punto, vértice del ángulo. Para calcular el punto de intersección de tres planos dados calculamos la recta intersección entre dos de ellos y seguidamente el punto de intersección de la recta así obtenida con el tercer plano. En el ejercicio de la figura 67, se calcula la intersección de tres planos dados P oblicuo, T paralelo a la línea de tierra y Q proyectante vertical. Para ello calculamos la recta R intersección entre los planos P y T. Auxiliándonos de un cuarto plano proyectante horizontal O, que contiene a R y genera la recta intersección S sobre Q, calculamos el punto de intersección A entre R y Q.