Tangencias. Concepto y tipología de problemas

Significado

El término viene del Latín; TANGERE = TOCAR. Se emplea en geometría para designar líneas, curvas y superficies que se tocan en uno o varios puntos sin llegar a cortarse.

Tres son las posiciones relativas que pueden adoptar una recta y una circunferencia:

  1. Recta exterior a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de esta.
  2. Recta secante a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que el radio de esta.
  3. Recta tangente a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es igual que el radio de esta.

Al ser la distancia de un punto a una recta la perpendicular trazada por este punto a la recta, el radio trazado desde el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente, siendo el pie de la perpendicular el punto de tangencia entre ambos elementos.

Posiciones relativas rectas circunferencias

Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos circunferencias son:

  1. Exteriores: No tienen ningún punto en común, la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
  2. Concéntricas: No tienen ningún punto en común salvo que sus radios sean idénticos, tienen el mismo centro.
  3. Secantes: Tienen dos puntos en común, la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
  4. Tangentes: Tienen un punto común de tangencia, alineado con los centros de las dos circunferencias.

Propiedades fundamentales de las tangencias

Para resolver los ejercicios de tangencias se han de tener en cuenta los siguientes teoremas:
  1. Una recta tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio de la circunferencia en ese punto.
  2. Una circunferencia tangente a dos rectas que se cortan tiene su centro en la bisectriz del ángulo que forman las rectas.
  3. Dos circunferencias tangentes tienen el punto de tangencia alineado con los centros de las circunferencias.

Problemas de tangencias

Resolución de tangencias básicas mediante propiedades fundamentales

Rectas tangentes a circunferencias:
  • 1.a. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella.
  • 1.b. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella cuando no se conoce el centro de la circunferencia.
  • 2. Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
  • 3. Rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una dirección dada.
  • 4. Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de distinto radio.
  • 5. Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias dadas de distinto radio.
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. Figuras 3 y 4

Resolución de tangentes mediante Lugares geométricos

  • 6. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos rectas que se cortan.
  • 7. Circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia y recta dadas.
  • 8. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos circunferencias secantes entre sí.
  • 9. Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos.
  • 10. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas.
  • 11. Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí.
  • 12. Circunferencias tangentes a dos rectas convergentes y entre sí.
  • 13. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio.
  • 14. Trazar un número -n- de circunferencias iguales, tangentes entre sí y a otra dada.
Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio
Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio. Figuras 15 y 16

Resolución de tangentes mediante Centro radical

  • 15. Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados exteriores a la recta.
  • 16. Circunferencias tangentes a una recta en un punto de ella y pasando por un punto exterior.
  • 17. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto comprendido entre ambas.
  • 18. Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan, conociendo el punto de tangencia t común a ambas circunferencias en una de las rectas.
  • 19. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia comprendida entre las mismas.
  • 20. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia tangente a una de ellas.
  • 21. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos exteriores.
  • 22. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno exterior y otro en la circunferencia dada.
  • 23. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos, uno interior y otro en la circunferencia dada.
  • 24. Circunferencias tangentes a una circunferencia pasando por dos puntos interiores.
Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados
Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados. Figuras

Resolución de tangentes mediante inversión

  • 25. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, pasando por un punto exterior a las mismas.
  • 26. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la recta.
  • 27. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia.
  • 28. Circunferencias tangentes a dos circunferencias y a una recta dadas.
Circunferencia tangentes a circunferencia y recta por puntos
Circunferencia tangentes a circunferencia y recta por puntos. Figura 28

Resolución de tangentes mediante homotecia e inversión

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas por puntos exteriores dados.
  • 29. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas.
  • 30. Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas conociendo el punto de tangencia en una de las circunferencias.
  • 31. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas.

 

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas
Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto exterior a ambas. Centro de homotecia inverso. Figura 37

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