Elementos, clasificación y trazado de triángulos

Triángulos. Elementos y designación
Triángulos. Elementos y designación

Definición y designación

Superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Los puntos de intersección de estas rectas se denominan vértices y se designan en mayúscula, los segmentos entre vértices lados y se designan en minúscula, igual al vértice opuesto. Fig.5

Son polígonos convexos con sus diagonales coincidiendo con los lados.

Propiedades fundamentales

  1. Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. b-c<a<b+c.
  2. Si tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales. Si a=b, a=b.
  3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo.
  4. La suma de los ángulos de cada vértice es siempre igual a 180º.

Clasificación de los triángulos

Según los lados

  • EQUILÁTERO. Si tiene sus tres lados iguales (a=b=c). Fig. 6.
  • ISÓSCELES. Si tiene dos lados iguales (c=b). Fig.7
  • ESCALENO. Ningún lado igual a otro. Fig.8
Triángulos. Clasificación según sus lados
Triángulos. Clasificación según sus lados

Según los ángulos

  • ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son agudos. Fig.9
  • RECTÁNGULO. Si tiene un ángulo recto. Fig.10
  • OBTUSÁNGULO. Si tiene un ángulo obtuso. Fig.11.
Triángulos. Clasificación según sus ángulos
Triángulos. Clasificación según sus ángulos

Rectas notables y centros del triángulo.

ORTOCENTRO

Punto donde se cortan sus alturas. Altura es la perpendicular de un vértice a su lado opuesto. Fig.12

CIRCUNCENTRO

Punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Es centro de la circunferencia circunscrita del triángulo (contiene a sus vértices). Fig.13

Trazado del Ortocentro, circuncentro y circunferencia circunscrita
Trazado del Ortocentro, circuncentro y circunferencia circunscrita
BARICENTRO

Punto donde se cortan las medianas. Medianas son los segmentos que van de los vértices a los puntos medios de los lados opuestos. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se encuentra respecto de los vértices a 2/3 de la mediana correspondiente. Fig.14

INCENTRO

Punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos del triángulo. Es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a sus lados). Fig.15

Trazado del baricentro, incentro y circunferencia inscrita
Trazado del baricentro, incentro y circunferencia inscrita

Triángulos notables

TRIÁNGULO ÓRTICO

Triángulo Órtico de un triángulo dado es el que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo dado. Fig.16

TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO

Triángulo Complementario de un triángulo dado es el que tiene como vértices los puntos medios de los lados del triángulo dado. Fig.17

Trazado del triángulo órtico y complementario
Trazado del triángulo órtico y complementario
TRIÁNGULO PODAR

Triángulo Podar de un triángulo dado es el que tiene como vértices los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde un punto P definido. Fig.18

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo. Figura 18B

Triángulo podar y recta de Euler
Triángulo podar y recta de Euler

Construcción de triángulos

El número de datos necesario para poder construir cualquier polígono es 2n-3, siendo n el número de lados del polígono. En el caso de los triángulos, el número de datos preciso es por tanto 3. A veces los datos no se dan directamente sino que van implícitos en la propia definición del triángulo o polígono a resolver, por ejemplo triángulo equilátero dato lado, lleva implícitos los tres lados y tres ángulos por lo que tenemos datos de sobra. Son innumerables los ejercicios que pueden plantearse de construcción de polígonos y triángulos, resolveremos aquí algunos a modo de ejemplo.

1. Conociendo los tres lados

Tomamos uno como base y hacemos centro en sus extremos con radios iguales a los otros dos lados, describiendo arcos que son los lugares geométricos de los extremos, donde se corten tenemos el vértice buscado. Fig.19

2. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

Fig.20

Conociendo los tres lado y Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
Conociendo los tres lado y Conociendo dos lados y el ángulo comprendido
3. Conocidos dos ángulos y el lado comprendido

Fig.21

4. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Se dibuja el ángulo y lado contiguos b y -a-, con centro en el extremo opuesto C, trazamos un arco de radio igual al segundo lado conocido -b-. El ejercicio puede tener 2 soluciones (vértices A y A’) si el lado -b- es mayor que la altura de C, 1 si son iguales y no tener solución si es menor. Fig.22

Conocidos dos ángulos y el lado comprendido. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Conocidos dos ángulos y el lado comprendido. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
5. Dados dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.

Se traza el arco capaz del ángulo opuesto a. Fig.23

6. Dados un lado, el ángulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado y ángulo

Se dibuja el lado -a-, se le traza el arco capaz de a y una paralela a distancia la altura dada -h-. Donde esta paralela y el arco se corten tenemos el vértice buscado. Dos soluciones si la altura es secante respecto al arco, una si es tangente y ninguna si es exterior. Fig.24

Dados dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. Dados un lado, el ángulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado y ángulo
Dados dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. Dados un lado, el ángulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado y ángulo
Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes

Dibujamos el lado -a- y una paralela a este a la altura dada -h-. Con centro en su punto medio  trazamos un arco de radio igual a la mediana dada. Donde ambos lugares geométricos se corten tenemos el vértice buscado. Dos soluciones, una o ninguna según sea la paralela de la altura secante, tangente o exterior al arco de la mediana respectivamente. Fig.25

Construcción de un triángulo equilátero dada la altura

Dividimos la altura en 3 partes iguales y hacemos centro en una de ellas que será el centro de la circunferencia circunscrita. Figura 25B

Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes. Construcción de un triángulo equilátero dada la altura
Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes. Construcción de un triángulo equilátero dada la altura
Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos.

Dibujamos el segmento dado como suma de catetos (b+c) y trazamos, por uno de sus extremos D, una semirrecta que forme con él 45º. En su otro extremo C hacemos centro para trazar un arco de radio igual a la magnitud conocida de la hipotenusa -a-.

Donde la semirrecta y el arco se corten tenemos el vértice B (o B’) del triángulo buscado. Desde el trazamos una recta perpendicular al segmento DC obteniendo el vértice A y, por tanto, el cateto menor -c- y la longitud del cateto mayor -a-. Fig. 26.

De tomar el punto de intersección B’, la solución será simétrica a la obtenida.

Obsérvese que el triángulo ABD es isósceles y rectángulo por lo que los segmentos AD y BA tienen igual longitud.

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de catetos.

Se resuelve de igual modo que el ejercicio anterior. Fig.27

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos. Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de catetos.
Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos. Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de catetos.
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