Óvalo, ovoide y espirales

Es una curva cerrada y plana compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y simétricos respecto sus ejes mayor y menor normales entre sí.

Dado el eje mayor AB, lo dividimos en tres partes iguales. Por sus divisiones trazamos dos circunferencias O1 y O2 de radio la tercera parte del eje AB, estas se cortan en los puntos O3 y O4.

O1, O2, O3 y O4 son los centros de los cuatro arcos que compondrán el óvalo. Los arcos de centro O1 y O2 tienen como radio la tercera parte del eje mayor y son tangentes a las trazadas con centro en O3 y O4, los puntos de enlace T2, T4, T1 y T3 de las circunferencias O1 Y O2 con O3 y O4 respectivamente están donde los segmentos unión de centros correspondientes corten a las circunferencias de centros O1 y O2.

El radio de los arcos de centro O3 y O4 será por tanto la distancia existente entre ellos y sus correspondientes puntos de enlace (O3-T2). Figura 1

Dividimos en cuatro partes iguales el eje mayor dado AB obteniendo los centros O1 y O2 de dos de los arcos en sus divisiones intermedias. Con centro en los extremos Ay B dados y radios AO1 y BO2 trazamos dos arcos que se cortan en O3 y O4, centros de los dos arcos restantes.

Los puntos de enlace se determinan uniendo los centros O1 y O2 con O3 y O4 y con estos quedan a su vez determinados los radios de los arcos de centros O3 y O4 (O3-T2). Figura 2

Dado AB, eje mayor, lo dividimos en cuatro partes obteniendo O1 y O2 en las divisiones más cercanas a A y B. Con centro en el punto medio del eje mayor, trazamos una circunferencia cuyo radio mida la cuarta parte de dicho eje que corta a la mediatriz de AB en O3 Y O4 centro de los arcos simétricos respecto de AB.

Para determinar los puntos de enlace y radios de estos dos últimos arcos, unimos los centros correspondientes como en ejercicios precedentes. Figura 3

Los extremos del eje menor dado serán centros de dos de los cuatro arcos de este óvalo (O3 y O4) y cuyo radio será igual al propio eje menor. Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro igual al eje menor dado que cortará a su mediatriz en los puntos O2 y O1, centros de los dos arcos restantes.

Los puntos de enlace se calculan uniendo centros y con ellos los radios de los arcos de centros O1 y O2, arcos que cortarán a la mediatriz del eje menor en A y B, extremos del eje mayor. Figura 4

Dado el eje mayor AB y el menor CD, trasladamos sobre la prolongación del menor, la magnitud del semieje mayor, obteniendo el punto E. Con centro en el extremo C, trazamos un arco de radio CE que corta al segmento CA en X. La mediatriz de XA determina en su intersección con el eje mayor el punto O1, centro de uno de los arcos, su arco simétrico tendrá su centro O2 también sobre el eje mayor, a igual distancia de O y en sentido opuesto.

Los radios de estos arcos los determinan las distancias a los extremos correspondientes del eje mayor AB.

La mediatriz de XA determina asimismo en su intersección sobre el eje menor o su prolongación el centro O4 y por simetría con respecto al eje mayor queda determinado O3. Los puntos de tangencia y los radios de los arcos de centros O3 y O4 se determinan como en ejercicios anteriores. Figura 5

Construir un óvalo inscrito en un rombo dado

Este trazado se emplea asiduamente para sustituir, en perspectiva isométrica, la elipse por el óvalo.

Dado el rombo ABCD, trazamos desde los extremos de la diagonal menor, rectas normales a los lados del opuestos rombo obteniendo T1, T2, T3 y T4, puntos de enlace de los arcos de centros O1 y O2, situados en las intersecciones de las normales trazadas. C y D son los centros de los arcos restantes.

Los radios de los arcos quedan determinados por las distancias de los centros a los puntos de enlace correspondientes (O1-T1). Figura 6

Es una curva cerrada y plana compuesta por dos arcos de circunferencia de igual radio, y otros dos de distinto radio, uno de ellos una semicircunferencia.

Tiene un eje de simetría que contiene a los centros de los arcos desiguales. Se denomina diámetro en el ovoide al diámetro de la semicircunferencia normal al eje.

Dado el eje AB lo dividimos en seis partes iguales siendo las partes 2ª y 5ª los centros O1 y O2 de la semicircunferencia y arco desigual.

Con centro en la 2ª división y radio 2B, trazamos un arco que corta en O3 y O4, centros de los arcos iguales, a la prolongación del diámetro.

El radio de la semicircunferencia es O1-A y sus extremos T1 y T2 puntos de enlace. El radio del arco desigual de centro O2 es O2-B.

Para determinar los puntos de enlace T4 y T3 unimos O4 y O3 con O2 cortando en su prolongación al arco trazado con centro en O2. Los radios de los arcos iguales son O4-T4 o O3-T3. Figura 7

Dado el diámetro AB, su mediatriz determinará la ubicación del eje.

Trazamos la semicircunferencia con centro O1, punto medio de AB y radio O1A y trasladamos la magnitud de este radio sobre el eje a partir de O1 quedando así determinado O4, centro del otro arco desigual. Los propios extremos A y B del diámetro dado son los centros O3 y O4 de los arcos iguales de radio AB.

A y B son asimismo los puntos de enlace T3 y T2 de la semicircunferencia con sus arcos adyacentes, determinaremos los puntos de enlace T1 y T4 y el radio del arco desigual de centro O4 mediante los segmentos que unen los centros O3-O4 y O2-O4 y su intersección con los arcos iguales. Figura 8

Siendo AB el diámetro, CD el eje y r el radio dados, trazamos una circunferencia de diámetro AB y trazamos su diámetro ortogonal y obteniendo C desde donde transportamos la magnitud del eje dada DC obteniendo D.

Llevamos a partir de A y B y sobre el diámetro, la magnitud r del radio dado y desde D sobre el eje obteniendo O4 centro del arco desigual sobre dicho eje.

Unimos los puntos obtenidos sobre el diámetro con O4 y trazamos las mediatrices de estos segmentos que cortan al diámetro o su prolongación en los centros O3 y O2 de los arcos iguales, de radios O3-B.

Determinamos los puntos de enlace T1 y T4 uniendo O3 y O2 con O4 hasta cortar a los arcos iguales o al arco de centro O4 y radio r. Figura 9

Es la espiral una curva abierta y plana generada por el movimiento de un punto que se aleja de otro u otros fijos denominados centros. Puede estar constituida por arcos de circunferencia enlazados entre sí y de radios gradualmente mayores.

Se denomina espira al fragmento de curva que describe el punto en una vuelta completa.

Las espiras contiguas distan entre sí una magnitud constante denominada paso.

Dados los dos centros A y B, se unen entre sí y se prolonga el segmento que determinan, esta recta será inicio y fin de los sucesivos arcos que determinan la espiral. La magnitud del paso es igual al doble de la magnitud del segmento AB.

Para trazarla, hacemos centro en A o B y describimos una semicircunferencia de radio AB que corta en C a la recta, cambiamos de centro (a B en la ilustración) y trazamos otra semicircunferencia con el mismo sentido y a continuación de la anterior, a partir de C, de radio BC y por tanto igual a P obteniendo en su intersección sobre la recta el punto D desde donde trazamos otra con centro en A y radio 3P/2 y así sucesivamente.

Observaremos que el radio de las semicircunferencias aumenta P/2 en cada ocasión. Figura 10

Construimos el triángulo equilátero ABC siendo la magnitud de su lado la tercera parte del paso dado P. A, B y C serán los centros de los sucesivos arcos.

Prolongamos en un mismo sentido los tres lados del triángulo y hacemos centro en uno de los vértices, trazando un arco de radio P/3 (centro en A y radio AC), que corta a una de las prolongaciones en D (la primera prolongación interceptada BA). Con centro en el vértice adyacente en el mismo sentido que se trace el arco (B), se traza otro enlazado con el anterior y por tanto a partir del punto D hasta cortar a la prolongación siguiente y así sucesivamente.

Los radios aumentan P/3 cada vez que trazamos un arco. Figura 11

Dibujamos un cuadrado ABCD de lado P/4 siendo P el paso dado y procedemos de igual forma que en el ejercicio anterior.

El radio de los arcos trazados aumenta P/4 en cada ocasión. Figura 12

Dado el paralelogramo rectángulo ABCD, prolongamos sus lados a partir de dos de sus vértices opuestos y haciendo centro en uno de los vértices contiguo a estos, A por ejemplo, trazamos un arco de radio igual a la magnitud de la diagonal que determinará el punto E en su intersección con la primera prolongación que intercepte. Con centro en B y radio BE trazamos otro arco quedando determinado F. Con centro en C y radio CF determinamos G etc…

Observaremos que los centros se van tomando en un sentido y los arcos se trazan con sentido opuesto.

Los arcos contiguos no aumentan de radio de forma gradual como en espirales anteriores y la distancia entre dos espiras consecutivas es igual a la magnitud de la diagonal del rectángulo dado. Figura 13

Evolvente es un término sinónimo o similar de espiral. El trazado para un polígono regular de lado conocido es idéntico que para el triángulo equilátero o cuadrado ya resueltos. La magnitud del lado del polígono es n/P, siendo n el número de lados del polígono y P el paso.

En el ejercicio hemos resuelto la evolvente de un hexágono regular ABCDEF de lado conocido.

Tomando como centro uno de los vértices y radio el lado dado trazamos el primer arco y obtenemos el primer punto sobre las prolongaciones 1, tomando el centro contiguo a A en el mismo sentido que hemos trazado el arco, B, y con radio B1 trazamos el segundo arco y así sucesivamente. Figura 14

La espiral de Arquímedes o espiral aritmética es una curva que se aleja de un punto fijo (llamado centro) con una velocidad angular constante. Obtuvo su nombre del matemático griego Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo.

Técnicamente se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad angular constante. Figura 15 A

Construcción de la espiral de Arquímedes, dado su paso y número de vueltas

Siendo el paso P y el número de vueltas una, trazamos una sola circunferencias de radio P.

La dividimos en un número cualquiera de partes iguales, 16 en la ilustración dividiendo en el doble número de partes el radio P, por ser una vueltas.

Por las divisiones de los radios trazamos circunferencias concéntricas a las primeras, 16 en total en la ilustración hasta interceptar a las divisiones correspondientes efectuadas en la circunferencia, obteniendo de este modo puntos de la espiral que se unirán ordenadamente a mano alzada o con plantilla de curvas. Figura 15 B

Espiral dorada áurea o de Fibonacci

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.​ La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada.​ Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales, ), así como en el arte.

Construcción de la espiral dorada a partir de un cuadrado

Dibujamos la mediatriz de uno de los lados del cuadrado y obtenemos su punto medio M. Con centro en M y radio MB trazamos un arco que corta a la prolongación de CD en F, por donde trazamos una perpendicular a dicha prolongación hasta cortar en E a la prolongación de AB.

Obtenemos así el rectángulo áureo ACEF, que queda dividido a su vez en el cuadrado original y el rectángulo BDEF, también áureo.

Dividimos este rectángulo también en su cuadrado y su rectángulo áureo y obtendremos otro rectángulo áureo y dividimos así sucesivamente hasta que nos lo permitan los instrumentos de dibujo.

Para trazar la espiral hacemos centro en B y trazamos un arco abarcando la diagonal del primer cuadrado. Hacemos lo mismo haciendo centro en H y en el resto de cuadrados.