Toro. Representación y secciones

Como sabemos, el toro es una superficie de revolución generada por un círculo que gira en torno a un eje exterior a este.

Representación del toro con su eje vertical.

Dispuesto el eje verticalmente en la figura 1, la proyección horizontal del toro vendrá dada por dos circunferencias concéntricas de centro en la proyección horizontal -o- del eje vertical. La de mayor radio se denomina ecuador y la de menor radio garganta. El radio del ecuador (O-M) se determina sumando al radio de la garganta el diámetro (M-N) de la circunferencia generatriz determinándose el radio de la garganta (O-N) al restar al ecuador el diámetro de la circunferencia generatriz.

Representación del toro con su eje vertical.
Representación del toro con su eje vertical.

La directriz de esta superficie de revolución es en proyección horizontal una circunferencia concéntrica de las anteriores y cuyo radio (O-C1) se determina restando el radio de la circunferencia generatriz al ecuador. La directriz es el lugar geométrico de las posiciones del centro de la circunferencia generatriz.

En proyección vertical, el contorno aparente viene dado lateralmente por dos semicircunferencias de diámetro igual al de la circunferencia generatriz, limitadas superior e inferiormente por rectas tangentes comunes exteriores.

Determinación de puntos en el toro.

Dado el toro de eje vertical por sus proyecciones diédricas, para determinar la proyección horizontal de dos puntos dados por sus proyecciones verticales, tomaremos planos auxiliares horizontales que los contengan (en la figura 2, el plano horizontal Q contiene a los puntos a’ y b’ simultáneamente). Este plano genera de sección una arandela (limitada por dos circunferencias concéntricas de distinto radio O-N y O-M) estando necesariamente las proyecciones horizontales de los puntos dados sobre alguna de ellas (a1, a2; b1, b2, b3, b4).

Representación del toro apoyado en un plano oblicuo.

Conocidos los radios de las circunferencias directriz y generatriz, las trazas del plano oblicuo P y las proyecciones diédricas del centro del toro, procederemos del siguiente modo.

Para representar el toro en un plano oblicuo dado P, con su eje normal a éste y su centro O contenido en dicho plano, abatiremos el plano en el plano horizontal de proyección por ejemplo, y con él el punto O en O1. Con centro en O1 dibujamos en verdadera magnitud la circunferencia directriz de radio O1-A1 dado.

Dibujamos los diámetros de la circunferencia directriz A1-B1 y C1-D1, paralelo y perpendicular respectivamente a la charnela.

Desabatimos los diámetros trazados de la circunferencia directriz quedando ubicados por sus proyecciones diédricas sobre el plano P dado.

En proyecciones diédricas la circunferencia directriz se aprecia según una elipse, la trazamos sabiendo que los diámetros A-B y C-D son ejes de la elipse en proyección horizontal y diámetros conjugados de esta en proyección vertical.

Para dibujar las proyecciones diédricas del toro tendremos en cuenta que los puntos del contorno aparente exterior e interior equidistan en todo momento y en ambas proyecciones de la circunferencia directriz siendo la distancia comprendida entre los contornos y la circunferencia directriz el radio dado de la circunferencia generatriz.

Para determinar los ejes en proyección horizontal de las elipses del contorno aparente del toro y los diámetros conjugados en proyección vertical, dibujamos en verdadera magnitud circunferencias de radio igual al radio de la circunferencia generatriz de centros a, b, c, d y a’, b’, c’ y d’ respectivamente obteniendo en su intersección con la prolongación de los ejes o diámetros conjugados según corresponda los nuevos extremos de los ejes y diámetros conjugados de las elipses que definirán en proyección horizontal y proyección vertical el contorno aparente del toro. Figura 3

Representación del toro apoyado en un plano oblicuo.
Representación del toro apoyado en un plano oblicuo.

Secciones planas en el toro.

Sección del toro. Plano secante paralelo a su eje y frontal.

Dado un toro de eje vertical y un plano secante frontal.

La sección plana del toro genera una curva de Casini salvo que el plano secante contenga al centro O de la superficie en cuyo caso la sección son dos círculos frontales de radio igual a la circunferencia generatriz y cuyos centros están situados en la circunferencia directriz.

Las curvas de Cassini se definen como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a dos fijos denominados focos, es constante.

Según la relación existente entre la distancia focal y el eje mayor, se obtienen diferentes curvas: elipse, ovalo, dos óvalos, o lemniscata.

Nosotros trazaremos estas curvas no por métodos geométricos sino calculando puntos en Sistema Diédrico Ortogonal.

Para determinar la curva que de sección genera el plano frontal F en el toro, trazaremos planos auxiliares horizontales (H1, Q1, P1, O1, P2, Q2, H2, T2) que, por ser normales al eje del toro, generarán arandelas de sección en el toro y que, por ser paralelas al plano horizontal de proyección, se proyectaran en el proyección horizontal sin deformación alguna.

En proyección horizontal, los puntos de intersección (a, c, e, g, j, h, f, d y b) del plano frontal F con las circunferencias concéntricas de centro O, límites de las secciones generadas en el toro por los planos antedichos, serán puntos de la sección buscada. Calcularemos sus proyecciones verticales (a’, c’1, c’2, e’1, e’2, g’1, g’2, j’1, j’2, h’1, h’2, f’1, f’2, d’1, d’2, b’) que estarán sobre sus correspondientes planos horizontales. Figura 4.

Sección del toro. Plano secante paralelo a su eje y proyectante horizontal.

El método general para calcular la curva sección en el toro es siempre el misma sea cual sea el plano secante y su posición relativa: tomamos planos auxiliares que generen arandelas de sección, es decir, planos perpendiculares a su eje que serán horizontales si el toro muestra su eje vertical.

En el siguiente caso, la sección producida por el plano proyectante horizontal P dado son dos circunferencias por pasar este por su centro y ser paralelo al eje del toro.

En proyección horizontal se aprecian directamente los puntos de la sección c, d, g y h en el corta de la traza con el ecuador y la garganta del toro. Las proyecciones verticales de estos puntos estarán sobre un plano horizontal que contenga a la circunferencia directriz y que pase por tanto por el centro O del toro.

Los segmentos C-D y G-H son los diámetros horizontales de las dos circunferencias sección y que se proyectarán verticalmente en elipses, siendo c’-d’ y g’- h’ los extremos de sus ejes menores.

Para determinar los extremos (a-b’ y e’-f’) de los ejes mayores de las elipses trazaremos rectas verticales por el punto medio de los ejes menores.

Dibujamos finalmente las elipses geométricamente. Figura 5.

Si el plano secante es oblicuo y el eje del toro vertical o de punta, efectuaremos un cambio de plano hasta situar el plano proyectante horizontal o proyectante vertical respectivamente de modo que simplifiquemos el cálculo de la curva.

Sección del toro. Por un plano secante paralelo a su eje y proyectante horizontal y por un plano frontal.
Sección del toro. Por un plano secante paralelo a su eje y proyectante horizontal y por un plano frontal.

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