Sistema diédrico. Distancias.

Los problemas de distancias entre rectas, planos, rectas y planos, puntos y rectas etc., se reducen siempre a calcular la distancia entre dos puntos.

La verdadera distancia entre dos puntos no viene, en sistema diédrico ortogonal, reflejada en sus proyecciones salvo que el segmento que estos dos puntos definen sea paralelo o se encuentre contenido en uno de los planos de proyección.

Para poder apreciar en verdadera magnitud lineal la distancias entre dos puntos, colocaremos pues el segmento que entre los dos definen paralelo a uno de los planos de proyección, contenido en él o viceversa, colocamos uno de los planos de proyección paralelo al segmento en cuestión, utilizando para ello métodos como abatimientos, cambios de plano o giros.

Distancia entre dos puntos

Vamos a resolver este ejercicio por 4 métodos distintos.

Dados dos puntos A y B por sus proyecciones diédricas, situaremos en los dos primeros métodos una de las proyecciones del segmento que definen paralela a uno de los planos de proyección convirtiéndolo en frontal u horizontal para apreciar la distancia entre A y B en verdadera magnitud.

1er método: mediante giro

Convertimos el segmento AB en, por ejemplo, recta frontal, es decir paralelo al plano vertical, tomando como eje de giro una recta vertical que pasa en el ejemplo de la figura 17 por el extremo B del segmento. La nueva proyección vertical del segmento determina la verdadera magnitud del mismo y por tanto la distancia real existente entre los puntos A y B.

2º método: mediante cambio de plano

Convertimos el segmento AB en una recta horizontal en el ejemplo de la figura 18 mediante cambio de plano horizontal. La nueva proyección horizontal del segmento se apreciará en verdadera magnitud.

Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos

3er método: mediante abatimiento

Calculamos las trazas de un plano Q que contenga a la recta definida por los punto A y B dados y abatimos el segmento sobre uno de los planos de proyección, en el ejemplo de la figura 19 abatimos sobre el plano horizontal de proyección a partir de la traza horizontal del plano. El segmento AB abatido está en verdadera magnitud.

4º método: simplificando el abatimiento

En la figura 20 podemos apreciar que la distancia entre los puntos A y B es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en donde los catetos, conocidos, son uno la proyección horizontal del segmento AB y el otro la diferencia de cotas entre los puntos A y B. En realidad se está abatiendo el triángulo rectángulo abB sobre un plano paralelo al plano horizontal de proyección, tomando como charnela el cateto ab. Esta misma operación podemos realizarla tomando como catetos la proyección vertical del segmento a’b’ y la diferencia de alejamientos entre los puntos A y B.

Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto A a un plano P es un segmento (el segmento AE en el ejemplo), siendo E el punto de intersección entre el plano P y una recta perpendicular a él trazada por el punto dado A. 

En proyecciones diédricas, trazamos directamente por A una recta R normal al plano dado P.

Para calcular el punto de intersección E entre la recta trazada R y el plano P nos auxiliamos de un plano que contenga a la recta, en el ejemplo de la figura 21 hemos tomado el plano Q proyectante vertical, la distancia entre los puntos A y E es la distancia buscada.

Para apreciarla en verdadera magnitud operamos según alguno de los cuatro métodos descritos en el ejercicio anterior. En el ejemplo se ha calculado la verdadera magnitud girando el segmento AE hasta convertirlo en frontal.

Distancia de un punto a un plano
Distancia de un punto a un plano

Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto A a una recta R es un segmento AE siendo E el punto de intersección de una recta D perpendicular a R y trazada desde A.

En proyecciones diédricas, la perpendicularidad entre rectas no se conserva por lo que no podemos trazar directamente por A la recta D mencionada.

Para resolver este ejercicio, trazaremos por A un plano P normal a la recta R. Conteniendo a la recta R trazaremos

un plano Q que genera con el plano P la recta T de intersección entre ambos. El punto de intersección E entre las rectas R y T será el extremo del segmento AE buscado. Fig. 22. A continuación detallo esta construcción en proyecciones diédricas.

  1. Como ha quedado visto, para localizar el segmento AE, tendremos que auxiliarnos de un plano P perpendicular a R, este lo trazaremos auxiliándonos a su vez de una recta S horizontal que, conteniendo al punto A presente su proyección horizontal normal a la proyección horizontal de R. (Véase rectas perpendiculares entre sí). Conteniendo a la recta S y por tanto al punto A, trazamos el plano P perpendicular a la recta R.
  2. El plano P trazado corta a la recta R en el punto E, extremo buscado del segmento. Para localizar dicho punto (intersección recta-plano), trazamos un plano auxiliar Q proyectante vertical en el ejemplo, que contenga a la recta R, la intersección de los planos P y Q genera la recta T y esta se corta con la recta R en el punto E.
  3. El segmento AE, perteneciente a la recta D, nos proporciona en verdadera magnitud la distancia buscada entre el punto A y la recta R.
  4. La verdadera magnitud del segmento se ha calculado por giro. Fig. 23
Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a una recta

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas R y S viene definida por un segmento AE perpendicular a ambas.

Al no poder trazar directamente en Sistema Diédrico Ortogonal rectas perpendiculares entre sí, tendremos que trabajar del siguiente modo:

  1. Trazamos un plano P perpendicular a ambas rectas y calculamos los puntos de intersección A y E de este con las rectas R y S. Calculamos la verdadera magnitud del segmento AE.
  2. Para calcular la intersección de las rectas R y S con el plano P, nos auxiliaremos de planos proyectantes O y Q que contengan a R y S respectivamente, estos generarán con el plano P las rectas de intersección T y K respectivamente. Los puntos de intersección de las rectas T con R y K con S son los puntos A y E buscados.
  3. La verdadera magnitud del segmento AE no se resuelve en el ejemplo de la figura 24 para no restar claridad al dibujo.
Distancia entre dos rectas paralelas
Distancia entre dos rectas paralelas

Distancia entre dos planos paralelos

Para calcular la distancia existente entre dos planos P y Q paralelos, bastará con trazar una recta R perpendicular a ambos.

El segmento AE definido por los puntos de intersección de la recta R con los planos P y Q determinará la distancia buscada. En proyecciones diédricas, trazaremos la recta R directamente perpendicular a P y Q.

Para calcular los puntos A y E (intersección recta-plano), trazaremos por R un plano O auxiliar (en el ejercicio de la figura 25, proyectante vertical) que contenga a la recta R, este genera en los planos P y Q las rectas intersección T y K. Los puntos de corte de estas rectas con R y S son los puntos A y E buscados. La verdadera magnitud del segmento AE se resuelve por cualquiera de los métodos estudiados.

Distancia entre dos planos paralelos
Distancia entre dos planos paralelos

Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan

Para calcular la mínima distancia existente entre dos rectas que se cruzan K y R, trazamos por cualquier punto de una de las dos rectas una recta paralela a la otra recta dada (en el ejemplo del ejercicio 26 por el punto A de la recta R trazamos una recta T paralela a K).

Obtenemos de este modo dos rectas que se cortan y que por tanto definen un plano, el plano P.

Podremos obtener la distancia entre las rectas K y R sin más que trazar desde cualquier punto de la recta K (en el ejemplo el punto O) una recta S perpendicular al plano P, el segmento OE determina dicha distancia siendo E el punto de intersección entre la recta S y el plano P. Queda de este modo el ejercicio reducido a calcular la distancia de un punto a un plano ya estudiado en este tema.

Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan
Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan
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