Circunferencias tangentes a rectas

Resolución de circunferencias tangentes a rectas (problema de Apolonio).

15. Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados exteriores a la recta (PPR)

Dados P y Q los unimos hasta cortar en M a la recta r dada. Trazamos una circunferencia auxiliar C de diámetro PQ y trazamos una tangente desde M a C, obtenemos T. Con centro en M y radio MT, trazamos un arco que corta en T1 y T2 a r, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con r. Desde T1 y T2, trazamos perpendiculares a r hasta cortar a la mediatriz de PQ en O1 y O2 desde donde trazamos con radios O1T1 y O2T2 las circunferencia tangentes a r y pasando por PQ. FIG.18.

Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados
Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos dados. Figuras 18 y 19

16. Circunferencias tangentes a una recta en un punto de ella y pasando por un punto exterior (PPR).

P pertenece a la recta r y Q es exterior. Trazamos por P una perpendicular a r, radio de la circunferencia tangente a r en P, donde se corte con la mediatriz de QP, lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por P y Q, tenemos el centro O de la circunferencia buscada. FIG. 19

17. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto comprendido entre ambas (RRP)

Los centros de las circunferencias buscadas estarán sobre la bisectriz de las dos rectas dadas r y s. Deben pasar por P dado luego pasarán por Q, simétrico de P respecto de la bisectriz. Si son tangentes a r lo serán automáticamente a s por tener su centro sobre la bisectriz. El problema se reduce por tanto a calcular las circunferencias tangentes a r pasando por P y Q, ejercicio de la figura 18, siendo la bisectriz de r y s la mediatriz de P y Q.  FIG. 20

Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto comprendido entre ambas
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto comprendido entre ambas. Figura 20

18. Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan, conociendo el punto de tangencia t común a ambas circunferencias en una de las rectas (RRP)

Dadas las rectas r y s y el punto de tangencia T en s, los centros de las circunferencias buscadas deben estar alineados sobre una perpendicular a s por t y sobre las bisectrices de los ángulos formados entre r y s. La intersección de estos lugares geométricos determina O1 y O2 de radios O1T y O2T. Los puntos de tangencia sobre r se calculan trazando a ésta normales desde los centros. FIG. 21

Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan, conociendo el punto de tangencia t común a ambas circunferencias en una de las rectas
Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan, conociendo el punto de tangencia t común a ambas circunferencias en una de las rectas. Figura 21

19. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia comprendida entre las mismas (RRC)

Trazamos paralelas interiores y exteriores a las rectas dadas r y s, a distancia igual al radio R de la circunferencia dada O. El problema queda reducido a trazar circunferencias tangentes a dos rectas convergentes pasando por un punto O centro de la circunferencia y su simétrico respecto la bisectriz de r y s, Q. (Figuras 20 y 18). Se opera 1º con las paralelas exteriores (centro radical M) y se obtienen dos soluciones, y dos más con las interiores (centro radical N). Los puntos de tangencia obtenidos sobre las rectas paralelas auxiliares se trasladan según una perpendicular sobre r y s obteniendo T1, T2, T3 y T4 y en su prolongación O1, O2, O3 y O4 sobre la bisectriz. FIG. 22

Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia comprendida entre las mismas
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia comprendida entre las mismas. Figura 22

20. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia, tangente a una de ellas (RRC)

Dadas las rectas r y s y la circunferencia O tangente en T a s. Tenemos dos soluciones ya trabajadas:

  1. Trazar tangentes a dos rectas que se cortan conociendo el punto de tangencia T en una de ellas, cuando trabajemos con r y s (figura 21),
  2. Trazando paralelas auxiliares exteriores a r y s a distancia igual al radio R de la circunferencia dada O, reducimos ésta a un punto O y el problema queda reducido a «Trazar circunferencias tangentes a dos rectas convergentes pasando por un punto O». (figura 20). FIG. 23
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia, tangente a una de ellas
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y a una circunferencia, tangente a una de ellas. Figura 23

JUSTIFICACIÓN:

  • Las circunferencias buscadas deben tener sus centros en la mediatriz de PQ para pasar por estos dos puntos.
  • Sus centros estarán además en las perpendiculares trazadas a r desde T1 y T2 pues por las propiedades de las tangencias, una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia que contiene al punto de tangencia.
  • M es centro radical de las circunferencias que pasen por PQ y que sean tangentes a la recta (PQ es el eje radical de las circunferencias que pasan por PQ y r eje radical de las circunferencias tangentes a r). Las circunferencias buscadas cumplen ambas condiciones por lo que M es su centro radical.
  • Las rectas tangentes trazadas desde el centro radical a las que tienen PQ como eje radical, tienen igual potencia y por tanto igual magnitud MT. (MT, tangente a la auxiliar C que pasa por PQ).
  • Las rectas tangentes trazadas desde M a las circunferencias tangentes a r y que pasen por PQ deben tener la potencia respecto de M, su centro radical, cte=MT2 y por tanto sus magnitudes iguales a MT. Trasladamos por tanto T sobre la recta y obtenemos T1 y T2.

 

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