Perpendicularidad

Dos rectas o dos planos son perpendiculares entre sí cuando se cortan (o cruzan) formando ángulo recto. También se denominan ortogonales o normales.

Axiomas

  • Por un punto de una recta pasa una sola perpendicular.
  • Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta.

Teoremas

  • Recta perpendicular a un plano: Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en dicho plano, pasen o no por la intersección recta-plano o pié de la perpendicular. FIG. 1.
  • Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas son perpendiculares entre sí y una de ellas es paralela a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son también ortogonales. FIG. 2.
  • Perpendicularidad entre planos: Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es preciso que uno de ellos contenga una recta perpendicular al otro. FIG. 3.
Teoremas de la perpendicularidad
Perpendicularidad. Figuras 1, 2 y 3

Mediatriz

Mediatriz de un segmento, es el lugar geométrico [1] de los puntos de un plano que equidistan de los extremos de dicho segmento. Divide al segmento en 2 partes iguales y es perpendicular a éste. Se dibuja trazando por los extremos del segmento dos arcos de radio arbitrario pero mayor que la mitad del segmento, unidos los puntos C y D  en donde los arcos segmento cortan, se obtiene la mediatriz [2]. FIG. 4.

Trazado de perpendiculares

1. Perpendicular a una recta por un punto de ella

Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corta a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG.5

2. Perpendicular a una recta por un punto exterior

Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corte a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG.6

Trazado de perpendiculares
Perpendicularidad. Figuras 4, 5 y 6

 3. Perpendicular a una semirrecta en su extremo

1er método: Basado en el teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si los catetos son de 3 y 4 unidades y la hipotenusa de 5, tenemos que 32 + 42 = 52, luego si trazamos desde el extremo de la semirrecta un arco de radio 4 cm, y a 3 cm de dicho extremo, en C otro arco de 5 cm, obtenemos el punto A de corte de ambos arcos que unido con el extremo P de la semirrecta nos proporciona la perpendicular buscada. Podemos observar que el triángulo ACP es efectivamente rectángulo. FIG. 7

Trazado de perpendiculares
Perpendicularidad. Figura 7

2º método: Basado en la construcción del triángulo equilátero [3]. Con radio arbitrario pero fijo, trazamos arcos sucesivos, comenzando por P obtenemos A en r, con centro en A obtenemos B, desde B, C y desde B y C, D. Uniendo D y P obtenemos la perpendicular buscada. FIG. 8

3er método: Basado en el arco capaz [4]. Desde un punto exterior C cualquiera, trazamos una circunferencia que pase por P, extremo de la semirrecta que corta a r en A, uniendo A y C obtenemos B en la circunferencia, unimos B y P, perpendicular buscada. FIG. 9

Trazado de perpendiculares
Perpendicularidad. Figura 8

Aplicaciones

Las aplicaciones son numerosas, podemos poner como ejemplo:

  • División de un segmento en dos partes iguales.
  • Trazado de una circunferencia que pase por 2 puntos.
  • Trazado de una circunferencia que pase por 3 puntos no alineados.
  • Distancias mínimas, entre punto y recta, punto y plano, rectas, recta y plano, planos..
  • Tangentes a la circunferencia (perpendiculares al radio).
  • Trazado de ejes radicales.
  • Medias proporcionales entre segmentos.
  • Construcción de paralelogramos y triángulos rectángulos.

 


[1]Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición común.

[2]Por la construcción realizada, C y D equidistan de A y B luego la recta que definen S, también equidista de A y B, pasa por tanto por su punto medio y es perpendicular a R.

[3]Los puntos PAB determinan un triángulo equilátero por lo que sus ángulos son de 60º, CPB son vértices de otro triángulo equilátero. La perpendicular trazada es bisectriz del ángulo CPB, divide este ángulo en dos de 30º que sumado al contiguo de 60º, BPA, dan como resultado  los 90º del ángulo formado por el segmento PD y la semirrecta de origen en P.

[4]B y A definen un diámetro de la circunferencia, el arco ACB es capaz de 90º, todos los ángulos con su vértice en él y extremos coincidentes con A y B son de 90º, APB cumple esta condición, luego los segmentos PB y PA son perpendiculares entre sí.

 

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