Sistema de Planos Acotados. La Recta

Determinación de la recta.

Como en cualquier otro sistema dos puntos determinan una recta, dados dos puntos A y B bastará pues unir sus proyecciones para tener determinada la recta R que designaremos con minúscula r, una vez proyectada sobre el Plano de Proyección.

Sistema Acotado. Recta
Sistema Acotado. Recta

Traza de una recta.

Es su punto de intersección con el plano de proyección y tendrá por tanto cota nula. La podemos determinar abatiendo, la recta dada R, sobre el Plano de Proyección. Tomamos para ello como charnela su propia proyección r, trazándole por dos puntos de ella A y B rectas perpendiculares sobre las que llevaremos las cotas correspondientes a los puntos escogidos, donde la recta abatida en Ro corte a la proyección dada r tendremos la traza buscada t(0). Figura 3.

Verdadera magnitud de un segmento.

Dado el segmento A-B, abatiremos sobre el Plano de Proyección la recta R que definen y con ella los puntos A y B en Ao y Bo. El segmento Ao-Bo está en verdadera magnitud por coincidir con el Plano de Proyección. Figura 3.

Pendiente de una recta.

La pendiente es una relación entre el desnivel y el desplazamiento sobre el Plano de Proyección. Con la pendiente determinaremos la inclinación que presenta una recta respecto al Plano de Proyección. Viene definida por la tangente del ángulo a que ésta forma con el Plano de Proyección.

Para poder calcular la pendiente, abatimos la recta sobre el Plano de Proyección auxiliándonos de su traza t y un punto A de la recta, de éste modo obtenemos el ángulo a de pendiente siendo su tangente la pendiente buscada.

Sistema Acotado. Verdadera magnitud recta
Sistema Acotado. Verdadera magnitud recta

Abatida la recta podemos observar que las proyecciones t y a forman, junto al punto A abatido en Ao, un triángulo rectángulo. Como sabemos por trigonometría, la tangente del ángulo a de pendiente es igual a la relación entre los catetos opuesto y contiguo de dicho ángulo, por lo que la pendiente será igual a Ao-a/a-t o lo que es lo mismo pendiente = (desnivel Ao-a)/(proyección t-a).

La pendiente es por tanto el cociente entre la cota de un punto de la recta y su distancia horizontal a la traza. Por ejemplo, para un punto a(2) situado en R, que diste 5 cm de la traza t, tenemos que la pendiente p de R es 2/5 = 0.4.

[quote]Como vemos, avanzamos 2 unidades de medida verticalmente para recorrer 5 unidades horizontalmente o 0.4 unidades verticalmente para avanzar 1 unidad horizontalmente y es por esto que también se define pendiente como la distancia que debemos recorrer verticalmente (0.4 en el ejemplo) para avanzar 1 unidad horizontalmente. [/quote]

Si no conocemos la traza de la recta dos puntos de la misma A y B también definen la pendiente, calcularemos en este caso el cociente entre el desnivel y la distancia horizontal entre ellos. Figuras 4 y 5.

Sistema Acotado. Pendiente e intervalo de la recta
Sistema Acotado. Pendiente e intervalo de la recta

 

Módulo o intervalo (i) de una recta.

Se entiende como la distancia que tenemos que recorrer horizontalmente sobre la recta para elevarnos verticalmente una unidad o viceversa, distancia horizontal existente entre dos puntos de desnivel 1. Se calcula mediante el cociente entre la distancia horizontal entre dos puntos de la recta (o distancia horizontal de un punto a su traza) y el desnivel.

En el ejemplo de la Figura 4, el intervalo o módulo de la recta R determinada por su punto A y su traza, es i = 5/2. Como vemos, el intervalo i es el inverso de la pendiente (i=1/p) y la pendiente inversa del intervalo (p=1/i): si denominamos en general, al desnivel “v” y a la distancia horizontal “h”, tenemos que p=v/h y que i=h/v. Si la pendiente es igual a la inversa del intervalo, p=1/i, tenemos sustituyendo que p=1/(h/v). Despejando comprobamos como efectivamente p=v/h.

[quote]En el ejemplo de la Figura 5, el intervalo es 2’5. Tenemos que recorrer 2’5 unidades horizontalmente para desplazarnos 1 unidad verticalmente. Pendiente e intervalo son constantes a lo largo de la recta.[/quote]

Graduar una recta o gradiente de una recta.

Dada una recta R, para conocer la cota de cualquiera de sus puntos, la graduamos con su intervalo correspondiente a partir de su traza o de cualquier punto de la misma de cota entera. En la Figura 6A se gradúa la recta R de la Figura 5 de la que conocemos su intervalo (i=2’5).

Si no conocemos el intervalo de la recta podemos calcularlo como sabemos, a partir de dos puntos conocidos de la recta. En la Figura 6B, conociendo dos puntos de una recta S cualesquiera c (1.9) y d (4.3), los hemos abatido en Co y Do determinado So y su intervalo i. A partir de él hemos graduado la recta atendiendo a la definición de intervalo (distancia horizontal que recorremos para elevarnos una unidad en la recta dada)

Para ello graduamos los segmentos perpendiculares a “s” c-Co y d-Do, a partir de Co y Do y según la unidad de medida correspondiente. Unimos Co y Do prolongando hasta cortar a s obteniendo la traza de S, trazando paralelas por el resto de divisiones graduaremos la recta observando que la distancia entre estas divisiones es su propio intervalo.

Podemos proceder de igual modo tomando los segmentos Co y Do oblicuos a s. Figura 6C.

Sistema Acotado. Gradiente de la recta
Sistema Acotado. Gradiente de la recta

Alfabeto de la recta.

Pueden ser las rectas en este sistema, respecto al plano de proyección:

  • Oblicuas: Dada por dos puntos de proyecciones horizontales no coincidentes y de diferente cota. Figura 7A
  • Perpendiculares: Vendrá dada por dos puntos de proyecciones horizontales coincidentes y de distinta cota. La recta se proyectará en un punto coincidente con la traza pués es proyectante. Su pendiente es infinito y su intervalo 0. Figura 7B
  • Paralelas: Determinadas por dos puntos de proyecciones horizontales diferentes pero de igual cota. Se proyectarán en verdadera magnitud sobre el Plano de Proyección. No tienen traza, su pendiente es nula y su intervalo infinito. Figura 7C.
Sistema Acotado. Alfabeto de la recta
Sistema Acotado. Alfabeto de la recta

Determinación de un punto sobre una recta.

Si deseamos situar un punto C de cota dada z sobre una recta R, abatimos esta en Ro y trazamos a r una recta paralela a distancia igual a la cota z del punto C, donde dicha paralela y Ro se corten tenemos Co y desabatido obtendremos c(z). Figura 8

Intersección entre rectas.

Dos rectas se cortan cuando el punto de intersección de sus proyecciones tiene igual cota en ambas, de lo contrario se cruzan. Se observa además, que las uniones de sus cotas homónimas son paralelas entre sí, por lo que podemos saber si dos rectas se cortan entre sí sin conocer su punto de corte. Figura 9.

Sistema Acotado. determinación de la cota de un punto de la recta e intersección.
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