Sistema de Planos Acotados. Perpendicularidad

Perpendicularidad entre recta y plano.

Según el Teorema de las tres perpendiculares –visto en el Sistema Diédrico Ortogonal y en el Sistema Axonométrico Ortogonal–, en proyecciones cilíndricas ortogonales, las proyecciones de una recta y la traza de un plano han de ser perpendiculares entre sí, si dichos elementos son perpendiculares en la realidad.

En Sistema Diédrico Ortogonal, cuando en ambas proyecciones se da ésta situación, la recta y el plano son perpendiculares. En el Sistema Acotado, esta condición no es suficiente aunque sí necesaria pues puede existir perpendicularidad entre la traza de un plano y la proyección de una recta que no sean en el espacio perpendiculares. Hace falta algún dato más. Para determinar la perpendicularidad entre recta y plano en Sistema Acotado se recurre a la relación entre sus intervalos.

En la Figura 25 se dibuja en perspectiva libre una recta perpendicular a un plano P –con una recta de máxima pendiente–  y se proyecta el conjunto sobre el plano de proyección PP. Observamos que se forma un triángulo ABC rectángulo en el vértice A, siendo A la intersección recta-plano (perpendiculares entre sí), B la traza de la recta y C la intersección de la traza del plano P con la proyección de R, r.

Sistema Acotado. Perpendicularidad
Sistema Acotado. Perpendicularidad

Considerando la altura de A como la unidad de cota (h=1 cm) observamos que la distancia aB es el intervalo de la recta y aC el intervalo del plano –siempre que recta y plano sean perpendiculares entre sí– de donde se deduce que los intervalos del plano P y de la recta R son inversos entre sí. Esto es así pues la altura de todo triángulo equilátero divide a la hipotenusa en dos segmentos (en este caso aC=ip y aB=ir) de los que ella es media proporcional. La media proporcional se expresa analíticamente como: ip/h =h/ir, y dado que h=1; tenemos que ip/1=1/ir, luego ip=1/ir, ir es la inversa de ip y viceversa.

Por último, podemos observar en la Figura 25 que los gradientes de la recta y el plano tienen sentido contrario. Resumiendo, las condiciones en Sistema Acotado para que recta y plano sean perpendiculares son tres:

  1. Proyección de recta y trazas de plano perpendiculares entre sí.
  2. Intervalos inversos.
  3. Gradientes de sentido contrario (igual dirección).

Recta perpendicular a un plano pasando por un punto del plano.

Trazaremos por C –c(7) en el ejemplo–, situado en el plano, la proyección r perpendicular a la traza del plano P –o paralela a su recta de máxima pendiente–. Para determinar el intervalo de R –inverso del de P como hemos visto– trazamos por un intervalo de P (dado) una perpendicular y, sobre ella, llevamos la unidad de cota (h=1), obtenemos así el vértice del triángulo rectángulo antes mencionado (A), dibujamos el ángulo rectángulo en A y obtenemos sobre la recta de máxima pendiente el intervalo de R. Trasladamos el intervalo de R sobre r a partir de la cota del punto dado teniendo en cuenta que debe tener sentido contrario al intervalo de P.

Recta r perpendicular a un plano p pasando por un punto c del plano.
Sistema Acotado. Recta r perpendicular a un plano p pasando por un punto c del plano.

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