Sistema diédrico. Cambios de plano

Para resolver problemas de verdadera magnitud lineal o angular se utiliza también otro método que consiste en mover el ángulo diedro de referencia hasta situarlo en una nueva posición, con el objeto de que se generen proyecciones de los elementos representados más favorables o trazas de los planos dibujados más adecuadas. Este método se denomina Cambio de Plano. Obtenemos de este modo un nuevo ángulo diedro de referencia, una nueva línea de tierra y unas nuevas proyecciones para unos elementos que permanecen fijos.

En cada cambio de plano solo se modifica la posición de uno de los dos planos de referencia, el vertical o el horizontal, permaneciendo el otro fijo. Se pueden efectuar tantos cambios de planos como se deseé. Las proyecciones sobre el plano que permanece fijo no se modifican y solo tendremos que calcular las proyecciones de los elementos sobre el plano modificado. La línea de tierra también varía, la nueva línea de tierra lleva unas indicaciones que nos permiten reconocer que plano se ha modificado —dentro de una llave, se indican los planos vertical y horizontal, el plano cambiado lleva un subíndice, 1 en el primer cambio, 2 en el segundo y así sucesivamente— y en qué situación se encuentran las proyecciones horizontales del primer diédro: del lado de las rayitas que identifican a la línea de tierra; aumentando una raya en cada nuevo cambio realizado. En el ejemplo se ha cambiado el plano horizontal de proyección una sola vez. Fig. 19

En el ejemplo realizaremos un cambio de plano vertical. Un punto A, representado por sus proyecciones diédricas a y a’ no experimentará variación en su proyección horizontal. La proyección vertical del punto A sobre el nuevo plano vertical (a’₁) estará alineada en una perpendicular trazada desde a, a la nueva línea de tierra y tendrá la misma cota pues su distancia al plano horizontal no ha variado por permanecer este último fijo. El valor del nuevo alejamiento quedará determinado por la situación de la nueva línea de tierra. Figura 20.

En la figura 20 se muestran las nuevas proyecciones de un punto en un cambio de plano vertical, en la figura 21 se realiza un cambio de plano horizontal y en la figura 22 un cambio vertical y un cambio de plano horizontal simultáneamente. 

Proyecciones de una recta en los cambios de plano.

Para determinar las nuevas proyecciones de una recta en los cambios de plano, basta con determinar las nuevas proyecciones de dos de sus puntos y unirlas.

En el ejercicio de la figura 23, convertimos la recta oblicua R mediante cambio de plano en una recta horizontal. Para ello, movemos el plano horizontal de proyección hasta situarlo paralelo a la recta R. En proyecciones diédricas, bastará con colocar la nueva línea de tierra paralela a la proyección vertical r de la recta pues una recta horizontal muestra su proyección vertical paralela a la línea de tierra.

Para resolver la nueva proyección horizontal de R, r₁, calculamos las nuevas proyecciones horizontales a₁ y b₁ de dos de sus puntos, A y B, sabiendo que han de estar alineadas en una recta normal a la nueva línea de tierra trazada por sus correspondientes e invariables proyecciones verticales a’ y b’.

Las cotas de los puntos A y B variarán, siendo en este caso iguales entre sí por ser la recta horizontal, los alejamientos o distancias de los puntos al plano vertical de proyección se mantendrán pues este plano no ha sufrido ningún cambio. Uniendo las nuevas proyecciones de los puntos así obtenidos, obtenemos la nueva proyección horizontal r₁ de la recta.

Por último, indicamos dentro de la llave, el cambio de plano efectuado colocando el subíndice 1 en H, y señalamos con doble raya la nueva línea de tierra.

La distancia entre los puntos A y B se muestra en verdadera magnitud en las nuevas proyecciones horizontales de los mismos (a₁ y b₁) por ser la recta obtenida horizontal.]

En el ejercicio de la figura 24, convertiremos, mediante un segundo cambio de plano, la recta R del ejercicio anterior en una recta de punta. Una recta de punta es paralela al plano horizontal de proyección y perpendicular al plano vertical de proyección, la recta R₁ ya es paralela al plano horizontal de proyección, bastará pues con efectuar un segundo cambio de plano, en este caso el plano vertical de proyección, para que además sea perpendicular a él.

Una recta de punta muestra su proyección horizontal normal a la línea de tierra, dibujamos por tanto la nueva línea de tierra normal a r₁. La proyección horizontal de R₁ no variará y la proyección vertical r’₁ se verá reducida a un punto. La cota de este punto será igual a las cotas de los puntos A y B tras el primer cambio de plano.

Trazas de un plano en los cambios de plano.

Un plano viene determinado por tres puntos no alineados, una recta y un punto no perteneciente a ella, dos rectas que se cruzan o dos rectas paralelas. Efectuando los cambios en cada uno de los elementos que determinan el plano, podemos obtener las nuevas trazas del plano tras el cambio de plano efectuado.

En cualquier caso y dado que, generalmente un plano viene dado por sus trazas, estudiaremos dos métodos para calcular las nuevas trazas del plano.

En el ejemplo de la figura 25, convertiremos un plano oblicuo Q en uno proyectante vertical. Para ello trazamos la nueva línea de tierra normal a la traza horizontal de Q invariable en el cambio. Al cambiar el plano vertical de proyección cambiará la traza vertical del plano. Para calcular la nueva traza, tomamos el punto A de intersección de las dos líneas de tierra y trazamos por a una recta perpendicular a la nueva línea de tierra. Desde a trasladamos la cota de a’ y obtenemos la nueva proyección vertical a’₁ de este punto de la traza del plano. Unimos a’₁ con el punto N de intersección entre la traza Q del plano (invariable) y la nueva línea de tierra, y obtenemos de este modo la nueva traza Q’₁ del plano con el nuevo plano vertical de proyección.

Trazas de un plano en los cambios de plano cuando las dos líneas de tierra se cortan fuera de los límites del dibujo.

Tomamos en el ejemplo de la figura 26 una recta auxiliar del plano dado, horizontal si el cambio de plano es vertical y frontal en caso contrario. Tras el cambio, vertical en este caso, la recta R auxiliar tomada, presentará una nueva proyección vertical pero mantendrá su proyección horizontal r y su cota o distancia, constante, al plano horizontal de proyección.

Calculamos la nueva traza vertical de la recta R, v’r₁, de cota idéntica a v’r sobre una recta normal a la nueva línea de tierra trazada a esta por donde r la corte y la unimos con el nuevo punto N de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra para obtener, de este modo, la traza vertical Q’₁ del plano tras el cambio de plano.

La traza horizontal Q genera con la nueva línea de tierra un nuevo punto N de concurrencia por donde debe pasar Q’₁. Q’₁ debe contener así mismo a la nueva traza vertical de la recta R.