Polígonos regulares

Un polígono regular es una figura plana delimitada por un número de lados ‘n’ con todos sus lados y ángulos iguales.

Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. A los polígonos de mayor número de lados se les añade el adjetivo regular.

Solo algunos polígonos regulares admiten construcción geométrica exacta.

Su construcción se se basan en la división de la circunferencia en un número ‘n’ de partes iguales.

Elementos

  • CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vértices del polígono.
  • CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polígono.
  • CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del polígono.
  • RADIO: Distancia del centro a un vértice, radio de la circunferencia circunscrita.
  • APOTEMA. Radio de la circunferencia inscrita del polígono o perpendicular del centro a un lado del polígono.
  • PERÍMETRO. Suma de las longitudes de los lados.
  • LADO: Une dos vértices consecutivos. Su mediatriz pasa por el centro del polígono.
  • DIAGONAL. Une dos vértices no consecutivos, su mediatriz pasa por el centro del polígono.
Elementos de un polígono regular
Elementos de un polígono regular

Construcción de polígonos regulares convexos que admiten representación exacta

Para dibujar un polígono regular suelen darnos como dato la magnitud de su lado o del radio de la circunferencia circunscrita generalmente.

Hay métodos de trazado específicos en función del número de lados, más exactos o sencillos de aplicar, y métodos generales.  Algunos polígonos regulares admiten representación geométrica exacta y otros no. A continuación veremos cada caso.

Conociendo el radio de la circunferencia circunscrita –R–

Polígonos regulares de 3 y 6 lados: triángulo y hexágono regular

Dibujamos la circunferencia de radio R y su diámetro. Desde el extremo del diámetro trazamos un arco con el valor del radio y obtenemos dos puntos de intersección que unidos entre sí y con el extremo contrario del diámetro me determinan el triángulo equilátero.

En el caso del hexágono, si estos puntos obtenidos A y B los unimos con el extremo del diámetro D, tendremos los lados AD y DB del polígono buscado. Trasladamos la magnitud del lado obtenido AD por el perímetro de la circunferencia a partir de los vértices ya conocidos y obtenemos el resto de vértices.

Obsérvese que en el hexágono, la magnitud del lado coincide con el radio de la circunferencia circunscrita.

Polígonos regulares de 3 y 6 lados, conociendo el radio de la circunferencia
Polígonos regulares de 3 y 6 lados, conociendo el radio de la circunferencia

Polígonos regulares de 4 y 8 lados: cuadrado y octógono regular

En el caso del cuadrado, los extremos de dos diagonales perpendiculares son los vértices buscados.

Para dibujar el octógono dibujamos la mediatriz de uno de los lados del cuadrado hasta cortar en G a la circunferencia. CG es el lado buscado y trasladamos su magnitud con el compás por la circunferencia a partir de los vértices conocidos para obtener el resto.

 

Polígonos regulares de 4 y 8 lados, conociendo el radio de la circunferencia
Polígonos regulares de 4 y 8 lados, conociendo el radio de la circunferencia

Polígonos regulares de 12 y 16 lados: dodecágono y hexadecágono regular

Como en el caso anterior, trazamos las mediatrices de los lados obtenidos previamente del hexágono y del octógono para obtener un vértice del dodecágono y del hexadecágono respectivamente. Trasladamos la magnitud obtenida con el compás para hallar el resto de vértices.

Polígonos regulares de 12 y 16 lados, conociendo el radio de la circunferencia
Polígonos regulares de 12 y 16 lados, conociendo el radio de la circunferencia

Polígonos regulares de 5 y 10 lados: pentágono y decágono regular

Trazamos dos diámetros perpendiculares CA y DB. Con centro en B un arco de radio R que corta en Ñ y N a la circunferencia. Los unimos y obtenemos M (NÑ es la mediatriz de BO).

Con centro en M trazamos un arco de radio MC que corta en X al diámetro horizontal.

CX es la magnitud del lado del pentágono y OX la del decágono. Trasladamos esta magnitud con el compás.

Polígonos regulares de 5 y 10 lados, conociendo el radio de la circunferencia.
Polígonos regulares de 5 y 10 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

Conociendo el lado

Polígono regular de 5 lados conociendo el lado: pentágono regular. 2 métodos

Dibujamos el lado FG con el valor del lado dado. Trazamos una perpendicular por G y le trazamos la mediatriz al lado obteniendo el punto medio M.

Calcularemos sobre esa mediatriz el vértice C opuesto al lado FG por dos métodos distintos.

Obtenido C trazamos arcos con la magnitud del lado y centros F, G y C. Las intersecciones de estos arcos serán los vértices E y H restantes.

Primer método

Trazamos un arco GF hasta cortarla en N.

Con centro en M trasladamos la distancia MN a la prolongación de lado y obtenemos S.

Trasladamos la distancia FB a la mediatriz y obtenemos C.

Segundo método

Trasladamos la distancia GM a la perpendicular y obtenemos N por donde trazamos una semirrecta de origen F.

Trasladamos la magnitud NG sobre la semirrecta y obtenemos S.

Trasladamos FS a la mediatriz y obtenemos C.

Polígonos regulares de 5 lados, conociendo el lado. 2 métodos
Polígonos regulares de 5 lados, conociendo el lado. 2 métodos

Polígonos regulares de 3 y 6 lados conociendo el lado: triángulo y hexágono regular

Dibujamos el segmento AB con el valor del lado dado. Con radio AB trazamos sendos arcos que se cortan en el tercer vértice –C– del triángulo.

Procediendo de igual manera obtenemos en lugar de ‘C’ el centro O6 de la circunferencia circunscrita del hexágono, por la que trasladamos con el compás la magnitud del lado AB dado.

Polígonos regulares de 3 y 6 lados, conociendo el lado
Polígonos regulares de 3 y 6 lados, conociendo el lado

Polígonos regulares de 4 y 8 lados conociendo el lado AB: cuadrado y octógono regular

Dibujamos AB y trazamos su mediatriz NÑ que corta al lado en su punto medio M, desde donde trazamos una semicircunferencia de diámetro AB que corta a la mediatriz en O4, centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado. Trasladamos por ella la magnitud del lado AB dado y obtenemos C y D.

Polígonos regulares de 4 y 8 lados, conociendo el lado
Polígonos regulares de 4 y 8 lados, conociendo el lado

Polígonos regulares de 12 y 16 lados conociendo el lado: cuadrado y octógono regular

Obtenemos O6 y O8 según hemos visto en los ejercicios anteriores y trazamos las circunferencias de radios O6-A y O8-A para obtener O12 y O16, centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos buscados.

Trasladamos las medidas del lado dado sobre las circunferencias y obtenemos el resto de vértices.

Polígonos regulares de 12 y 16 lados, conociendo el lado
Polígonos regulares de 12 y 16 lados, conociendo el lado

Construcción de polígonos regulares que no admiten representación exacta

Conociendo la altura

Pentágono regular conociendo la altura

Dibujamos una recta y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura dada h obteniendo así los puntos A y C.

Con centro en A y radio A-C trazamos un arco que determina los puntos N y B sobre la recta tomada. Calculamos la mediatriz del segmento N-A y trazamos un arco con centro en su punto medio M y radio M-B hasta cortar en E a la mediatriz.

Trazamos el segmento E-N y a este una recta paralela C-F por el punto C. Esta paralela es diagonal del polígono.

El segmento F-A tiene de magnitud la mitad del lado buscado del pentágono. Calculamos el simétrico de F respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentágono buscado.

Conocido el lado A-C y el vértice C podemos construir el polígono.

Construcción del pentágono conociendo la altura
Construcción del pentágono conociendo la altura

Conociendo el radio e la circunferencia circunscrita

Heptágono –7– conociendo el radio

Trazamos un diámetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radio R dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es el valor del lado del HEPTÁGONO.

Eneágono –9– conociendo el radio

Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí. Con centro en los extremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, que cortan a la circunferencia en M y N.

Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dos arcos que se cortan en Ñ.

Con centro en Ñ y radio B-Ñ, trazamos un arco que corta al diámetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEÁGONO.

Polígonos regulares de 7 y 9 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita
Polígonos regulares de 7 y 9 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita

 

Endecágono –11– conociendo el radio

Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí, A-B y C-D.

Con centro en B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M.

Con centro en D y radio R, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N.

Con centro en M y radio M-N trazamos un arco que corta al diámetro A-B en Ñ.

La distancia N-Ñ es igual a la magnitud del lado del polígono.

Polígono regular de 11 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita
Polígono regular de 11 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita

Conociendo la magnitud del lado del polígono

Heptágono –7– conociendo el lado

Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos un arco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongación del segmento I-J y en N a su mediatriz.

Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos un arco que corta al trazado anteriormente en G.

I-G es lado del heptágono, su mediatriz cortará a la mediatriz de I-J en el centro de la circunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella.

Eneágono –9– conociendo el lado

Trazamos la mediatriz del lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-L trazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamos otro arco que corta en Y a la mediatriz.

Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arco que corta en A a la mediatriz.

A-K es diagonal del polígono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centro O de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el lado dado.

Polígonos regulares de siete y nueve lados a partir del lado
Polígonos regulares de siete y nueve lados a partir del lado

Métodos generales para la construcción de polígonos regulares

Conociendo el radio (R) de la circunferencia circunscrita

Trazamos la circunferencia de radio R y dividimos su diámetro A-B en un número de partes igual al número de lados que tenga el polígono que queramos dibujar, en el ejemplo 7.

Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que se cortan en N.

Desde N unimos mediante una recta con la segunda división de A-B y obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C.

El segmento AC es lado del polígono buscado.

Polígono regular de 7 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita. Método general para cualquier número de lados
Polígono regular de 7 lados, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita. Método general para cualquier número de lados

Conociendo la magnitud del lado (A-B) del polígono regular

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O6 sobre la mediatriz de A-B. Con centro en O6 y radio A-O6, trazamos un arco que corta en O12 a la mediatriz. Dividimos el segmento O6-O12 en 6 partes obteniendo O7, O8, O9, O10 Y O11.

Si seguimos graduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O13, O14, etc., por encima y O5, O4 por debajo de O12 y O6 respectivamente.

Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos que llevan su número.

Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella, en el ejemplo el heptágono. Esta construcción es aproximada.

Polígono regular de 7 lados, conociendo el lado. Método general para cualquier número de lados
Polígono regular de 7 lados, conociendo el lado. Método general para cualquier número de lados

 

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