Polígonos regulares

Polígonos regulares.

Elementos.

Elementos de un polígono regular

Elementos de un polígono regular

  • CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vértices del polígono.
  • CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polígono.
  • CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del polígono.
  • RADIO: Distancia del centro a un vértice, radio de la circunferencia circunscrita.
  • APOTEMA. Radio de la circunferencia inscrita del polígono o perpendicular del centro a un lado del polígono.
  • PERÍMETRO. Suma de las longitudes de los lados.
  • LADO: Une dos vértices consecutivos. Su mediatriz pasa por el centro del polígono.
  • DIAGONAL. Une dos vértices no consecutivos, su mediatriz pasa por el centro del polígono.  Fig. 50

Construcción de polígonos regulares.

1. Polígonos que admiten representación exacta.

A. Conociendo el radio.

  • 3, 6, 12 LADOS. Fig.51
Polígonos regulares de 3, 6, y 12 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

Polígonos regulares de 3, 6, y 12 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

 

  • 4, 8, 16 LADOS. Fig.52
Polígonos regulares de 4, 8, y 16 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

Polígonos regulares de 4, 8, y 16 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

  •  5, 10 LADOS. Fig.53
Polígonos regulares de 5 y 10 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

Polígonos regulares de 5 y 10 lados, conociendo el radio de la circunferencia.

 

B. Conociendo el lado.

  • 5 LADOS. Figs.54 A y B
Polígonos regulares de 5 lados, conociendo el lado.

Polígonos regulares de 5 lados, conociendo el lado.

 

  • 3, 6, 12 LADOS. Figs.55 A, B y C.

 

Polígonos regulares de 3, 6 y 12 lados, conociendo el lado.

Polígonos regulares de 3, 6 y 12 lados, conociendo el lado.

  • 4, 8, 16 LADOS. Fig.56 A, B y C
Polígonos regulares de 4, 8, 16 lados, conociendo el lado.

Polígonos regulares de 4, 8, 16 lados, conociendo el lado.

 

 C. Conociendo la altura.

  • 5 LADOS.
Construcción del pentágono conociendo la altura

Construcción del pentágono conociendo la altura

Dibujamos una recta, y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura dada h obteniendo así los puntos A y C. Con centro en A y radio A-C trazamos un arco que determina los puntos N y B sobre la recta tomada. Calculamos la mediatriz del segmento N-A y trazamos un arco con centro en su punto medio M y radio M-B hasta cortar en E a la mediatriz. Trazamos el segmento E-N y a este una recta paralela C-F por el punto C. Esta paralela es diagonal del polígono. El segmento F-A tiene de magnitud la mitad del lado buscado del pentágono. Calculamos el simétrico de F respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentágono buscado. Conocido el lado A-C y el vértice C podemos construir el polígono. Fig.57

2. Polígonos que no admiten representación exacta.

A. Conociendo el radio r.

  • 7, 14 LADOS. Trazamos un diámetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radio R dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es el valor del lado del HEPTÁGONO. Fig.58 A
  • 9 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí. Con centro en los extremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, que cortan a la circunferencia en M y N. Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dos arcos que se cortan en Ñ. Con centro en Ñ y radio B-Ñ, trazamos un arco que corta al diámetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEÁGONO. Fig.58 B
  • 11 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí, A-B y C-D. Con centro en B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M. Con centro en D y radio R, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N. Con centro en M y radio M-N trazamos un arco que corta al diámetro A-B en Ñ. La distancia N-Ñ es igual a la magnitud del lado del polígono. Fig.58 C.
Polígonos que no admiten representación exacta a partir del radio

Polígonos que no admiten representación exacta a partir del radio

B. Conociendo el lado. AB.

  • 7 LADOS. Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos un arco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongación del segmento I-J y en N a su mediatriz. Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos un arco que corta al trazado anteriormente en G. I-G es lado del heptágono, su mediatriz cortará a la mediatriz de I-J en el centro de la circunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella. Fig.59 A.
  • 9 LADOS. Trazamos la mediatriz del lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-L trazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamos otro arco que corta en Y a la mediatriz. Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arco que corta en A a la mediatriz. A-K es diagonal del polígono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centro O de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el lado dado. Fig.59 B.
Polígonos que no admiten representación exacta a partir del lado

Polígonos que no admiten representación exacta a partir del lado

3. Métodos generales.

Conociendo el radio r.

Trazamos la circunferencia de radio R y dividimos su diámetro A-B en un número de partes igual al número de lados que tenga el polígono que queramos dibujar, en el ejemplo 7. Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que se cortan en N. Desde N unimos mediante una recta con la segunda división de A-B y obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C. El segmento AC es lado del polígono buscado. Fig.61

Conociendo el lado AB.

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O6 sobre la mediatriz de A-B. Con centro en O6 y radio A-O6, trazamos un arco que corta en O12 a la mediatriz. Dividimos el segmento O6-O12 en 6 partes obteniendo O7, O8, O9, O10 Y O11. Si seguimos graduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O13, O14, etc., por encima y O5, O4 por debajo de O12 y O6 respectivamente. Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos que llevan su número. Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella, en el ejemplo el heptágono. Esta construcción es aproximada. Fig.60

Construcción de polígonos regulares. Métodos generales.

Construcción de polígonos regulares. Métodos generales.

 

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