Sistema axonométrico. Escalas gráficas y reducciones.

En general, cuando un segmento oblicuo a un plano se proyecta sobre él, dicha proyección experimenta una reducción. Cuando la proyección es ortogonal al plano de proyección, la magnitud de la proyección es igual a la verdadera magnitud del segmento multiplicada por el coseno del ángulo que este forma con el plano. Este coseno recibe el nombre de coeficiente de reducción en el sistema de representación axonométrico. Figura 1.

En este sistema las aristas del triedro de referencia proyectadas sobre el cuadro en los ejes OX, OY y OZ experimentan la reducción mencionada por ser oblicuas a dicho plano y tratarse de una proyección cilíndrica ortogonal. El ángulo a comprendido entre el plano de proyección y cada una de las aristas, que se denomina ángulo de pendiente, determina como hemos dicho, la reducción correspondiente a cada eje. Figura 2.

Las unidades de medida tomadas en las aristas experimentan esta misma reducción y por tanto las coordenadas de un punto dado A (x, y, z) se verán afectadas, cada una según la reducción del eje correspondiente.

Las rectas axonométricas (paralelas a los ejes axonométricos) experimentarán reducciones idénticas a las de sus ejes correspondientes.

• En Isométrica el ángulo de pendiente es igual para los tres ejes y por tanto el coeficiente de reducción (C=0,816), la reducción que los ejes experimentan es por tanto, la misma.
• En Dimétrica tenemos 2 ángulos de pendiente diferentes, uno para dos de los ejes y otro para el tercero, los primeros experimentarán una reducción diferente a la del tercero.
• En Trimétrica 3 son los ángulos de pendiente, uno para cada uno de los ejes y tres serán por tanto los coeficientes de reducción a aplicar.

Las reducciones de las unidades de los ejes o de segmentos axonométricos (paralelos a estos) expresados según coordenadas x, y, z, pueden calcularse multiplicándola verdadera magnitud por el coeficiente de reducción correspondiente o bien gráficamente como veremos más adelante. Los ángulos entre los ejes varían en función de los coeficientes de reducción y/o ángulos de pendiente como comprobaremos más adelante.

Multiplicando los valores de las coordenadas por sus correspondientes coeficientes obtendremos las magnitudes reducidas que tendremos que medir sobre los ejes a partir del origen de coordenadas. Figura 3.

Escalas axonométricas

A menudo se simplifican los coeficientes de reducción dividiéndolos entre la reducción correspondiente al eje X. El resultado es la ESCALA AXONOMÉTRICA, en donde las magnitudes referentes a los tres ejes mantienen sus proporciones pero la reducción no es la correcta en términos absolutos.

• Supongamos que los coeficientes de reducción de una perspectiva trimétrica son Cx=0’9, Cy=0’7 y Cz=0’8 para los ejes X, Y y Z respectivamente. Si aplicamos la reducción correspondiente a cada uno de los ejes el objeto representado estos se reducen de forma diferente en cada una de sus dimensiones.
• Si aplicamos la simplificación mencionada o escala axonométrica según lo dicho (0,9/0,9=1; 0,7/0,9=7/9 y 0,8/0,9=8/9), el dibujo mantiene la proporcionalidad entre las tres dimensiones pero la reducción absoluta no es la correcta. En cualquier caso el manejo de los coeficientes se simplifica pues el correspondiente al eje X es igual a 1 y por tanto, las dimensiones en este eje no varían.

Esta simplificación está aceptada por las normas si bien cambia la denominación de perspectiva axonométrica a dibujo axonométrico cuando ésta se aplica. Cuando se trata de una perspectiva Isométrica, la escala axonométrica o simplificada será 1:1:1 y el dibujo no experimentará ninguna reducción. La perspectiva se denominará en este caso DIBUJO ISOMÉTRICO.

En el ejemplo siguiente representamos el punto A del ejercicio anterior para la misma situación de ejes y por tanto idénticos coeficientes pero aplicando las escalas, es decir, dividimos los coeficientes por el del eje OX y obtenemos la escala axonométrica 1:7/10:15/16. En este caso la coordenada X no experimentará reducción y variarán respecto al ejercicio anterior los valores de las coordenadas del eje OY y OZ. En cualquier caso, el dibujo axonométrico será proporcional a la perspectiva anterior. Figura 4.

En la taba siguiente se detalla una relación de las escalas más usuales en dibujo axonométrico así como sus correspondientes coeficientes y ángulos entre ejes.

En el ejercicio 6 se han resuelto los ángulos de pendiente α, β y δ de las aristas O-Z1, O-Y1 y O-X1 respectivamente.

En la figura 5A se ha dibujado en perspectiva libre el triedro de referencia apoyado por su vértice en el plano del cuadro y el triángulo de las trazas ABC generado por el plano secante P paralelo al plano del cuadro. El ángulo α de pendiente de, por ejemplo la arista O-Z1, es como sabemos el ángulo que esta forma con el plano del cuadro que es el mismo que dicha arista forma con el plano secante P. En la figura 5B se ha representado una proyección de perfil del problema.

Para determinar este ángulo α observaremos que pertenece a un triángulo rectángulo de vértice rectángulo en O e hipotenusa A-n siendo n el pié de la altura del vértice A del triángulo de las trazas. Este triángulo resulta proyectante sobre el plano del cuadro por lo que, para poder apreciar la verdadera magnitud del ángulo α tendremos que abatirlo sobre el propio plano del cuadro o sobre un plano paralelo a este, abatiremos pues en la figura 6A el mencionado triángulo rectángulo sobre el plano P secante tomando como charnela su hipotenusa A-n y sabiendo que su vértice opuesto ha de ser recto. Para ello bastará trazar el arco capaz de 90º para la hipotenusa A-n con centro en su punto medio m en un sentido o en otro hasta cortar en O1 a la perpendicular trazada a ella misma por el propio vértice O del triedro. O1 será el vértice del triángulo abatido.

El segmento O-O1 es perpendicular a la charnela. Como en todo abatimiento resuelto en proyecciones cilíndricas ortogonales, un punto y el propio punto abatido están sobre una perpendicular a la charnela que no es sino el circulo que este punto describe en el proceso y que resulta proyectante al cuadro y perpendicular al eje de giro o charnela. Uniendo el punto A con el punto O1 obtenemos el cateto O-A o eje Z abatido y el ángulo a en verdadera magnitud. En las figuras 6B y 6C se calculan por el mismo procedimiento los ángulos de pendiente β y δ de las aristas O-Y1 y O-X1 respectivamente.

A menudo no nos darán como datos los coeficientes de reducción gráfica sino el ángulo que forman entre sí los ejes. A partir de este dato tendremos que calcular las reducciones. Podemos proceder como en el ejercicio anterior, calculando los ángulos de pendiente para posteriormente hallar sus cosenos o bien, resolver este problema de forma exclusivamente gráfica. Conocidas las reducciones podremos llevar sobre cada uno de los ejes la unidad de medida ya reducida y establecer a partir de ésta una escala gráfica en cada uno o bien crearnos escalas volantes para cada uno de los ejes.

Son 2 dos los métodos, según la charnela de abatimiento escogida, que podemos emplear para calcular las escalas gráficas conocidos los ejes y en ambos casos el procedimiento consiste en situar, mediante abatimiento, las aristas del triedro en verdadera magnitud colocando sobre ellas las unidades de medida para posteriormente desabatir y obtener de este modo la proyección sobre los ejes de las unidades de medida con sus correspondientes reducciones.

Abatiendo las aristas del triedro sobre el plano secante P paralelo al cuadro y que genera el triángulo fundamental ABC, tenemos estas en verdadera magnitud.

Situamos en estas aristas abatidas la verdadera magnitud de la unidad de medida U con que estemos trabajando (u otra medida cualquiera de la que queramos conocer su reducción) y desabatimos obteniendo de este modo las reducciones correspondientes a cada eje. Para abatir las aristas tendremos en cuenta que en el vértice O donde concurren forman ángulos rectos.

Dados los ejes del sistema (o aristas del triedro proyectadas sobre el cuadro), los abatiremos sobre el plano secante P a partir de las caras del triedro que las contienen y tomando como charnelas los lados del triángulo fundamental ABC que este genera. En el ejemplo de la figura 7 abatimos primero el plano XOY y con él los ejes OX y OY en OX₁ y OY₁ y el vértice O en O₁, tomando como charnela el lado BC del triángulo fundamental.

Para ello trazamos un arco capaz de 90º para el segmento BC que nos sirve de charnela puesto que, y tras el abatimiento, el ángulo X₁O₁Y₁ ha de ser recto como hemos dicho. La nueva posición O₁ del vértice O tras el abatimiento (necesariamente sobre una recta perpendicular a la charnela y conteniendo al vértice O), será punto de concurrencia de las aristas OX₁ y OY₁ abatidas que ademas pasarán por los puntos B y C pues, por pertenecer estos a la charnela, no sufren variación en el proceso. Del mismo modo procedemos para abatir el eje OZ en OZ₁, abatiendo en esta ocasión el plano XOZ y tomando para ello como charnela el lado CA del triángulo de las trazas.

Abatidos los tres ejes, situamos sobre ellos, a partir de las diversas posiciones de O₁ y sobre los ejes abatidos correspondientes, la unidad de medida una o varias veces, o cualquier medida que necesitemos reducir. Desabatiendo los ejes, obtendremos las proyecciones reducidas de las medidas tomadas. Para desabatir tendremos en cuenta que los segmentos que contienen a un par de puntos homólogos son siempre, en abatimientos con sistemas de representación que utilicen proyecciones cilíndricas ortogonales, perpendiculares a la charnela de abatimiento según se estudió en Sistema Diédrico Ortogonal y se estudiará con más profundidad en este sistema más adelante.

En lugar de abatir sobre el plano secante P, paralelo al plano del cuadro, las caras del triedro y con ellas un par de ejes como hemos visto, podemos abatir uno a uno los tres ejes del sistema a partir de planos que, conteniéndolos sean perpendiculares al plano del cuadro.

Las charnelas en estos casos serán las alturas del triángulo fundamental que son las trazas entre estos los referidos planos y el secante P.

Este abatimiento ya está resuelto en las figuras 6A, 6B y 6C en donde se utilizó para resolver la verdadera magnitud de los ángulos de pendiente. Abatidos por este procedimiento los ejes en OX1, OY1 y OZ1, situamos sobre ellos las unidades de medida o medidas en verdadera magnitud para calcular su reducción y desabatimos según perpendiculares a las charnelas correspondientes. Figuras 8A, 8B y 8C.

Para ganar en rapidez y claridad, podemos construirnos escalas volantes a partir de las reducciones halladas, en la figura 9A construimos una escala para el eje X a partir de una unidad de medida reducida y en la figura 9B lo hacemos a partir del ángulo de pendiente del eje. En el primer caso el ángulo g de la semirrecta que contiene a las unidades en verdadera magnitud con relación a la escala no es determinante ni la dirección de las paralelas, en el segundo el ángulo d entre ambas semirrectas es el de pendiente del eje OX y la dirección de las paralelas perpendicular a la semirrecta que contiene la escala.

Conocidos los ángulos de pendiente de los ejes axonométricos OY, b=40º y OZ, a=30º.

• Dibujar en este sistema un cubo sabiendo que una de sus caras está contenida en el plano XOY y que una de sus aristas viene definida por los puntos A (0,20,0) y B (20,10,0).

Para poder trazar los ejes axonométricos a partir de dos de sus ángulos de pendiente procederemos del siguiente modo (Figura 10):

1. Dibujamos una recta que consideraremos el eje OZ del cual conocemos el ángulo de pendiente situando sobre ella arbitrariamente el vértice O y un punto A. Por A trazamos una semirrecta que forme a=30º con el eje Z. Trazamos por O una recta perpendicular al eje Z hasta cortar a la semirrecta trazada en O1 trazando por él otra  perpendicular a dicha semirrecta hasta cortar al eje Z en n. Por n trazamos una recta perpendicular P al eje Z
2. Desde O1 dibujamos una recta que forme b=40º con el eje Z obteniendo el punto M. Con centro en O y radio OM trazamos un arco que determinará el punto C en la recta P. El segmento CO determina la dirección del eje Y siendo el eje X una recta perpendicular al segmento CM que contenga al vértice O. Esta construcción se realiza siempre del lado de los dos ejes de los cuales son conocidos sus ángulos de pendiente.
3. Definida la situación de los ejes pasaremos a dibujar el cubo. Para ello, dibujaremos los puntos A y B expresados por sus coordenadas a las que aplicaremos la reducción correspondiente. El plano YOX abatido a partir de la charnela GQ , traza del triángulo fundamental trazado, nos permite resolver las reducciones correspondientes a los ejes OY y OX pero además haremos uso de la afinidad que, como en todo abatimiento, existe entre los planos XOY y XO1Y.
4. Como en Sistema Diédrico Ortogonal, la afinidad en este abatimiento queda definida por el eje de afinidad que es la charnela QG del abatimiento, la dirección de afinidad, que en proyecciones cilíndricas ortogonales es siempre perpendicular a la charnela, y por un punto afín. En principio no parece que dispongamos de ningún punto afín pero lo cierto es que los ejes OX1 y OY1 son afines de OX y OY y por tanto todos sus puntos. Encontraremos un par de puntos afines sin más que trazar una perpendicular a la charnela hasta cortar a dos ejes homólogos.
5. Para resolver este ejercicio abatiremos el segmento AB por afinidad sobre el plano P paralelo al cuadro y que determina el triángulo de las trazas a partir del plano XOY que lo contiene. Dibujaremos la base ABCD del cubo perteneciente al plano XOY en verdadera magnitud en A1B1C1 y D1 y la desabatiremos. Abatimos pues el segmento AB en A1 B1 mediante afinidad (punto doble ñ), dibujamos la base cuadrada y la desabatimos por afinidad en ABC y D.
6. Las aristas laterales del cubo serán rectas perpendiculares al plano XOY que contiene a su base (paralelas por tanto al eje OZ) que contengan a sus vértices. Para determinar en proyección la altura del cubo, mediremos en verdadera magnitud una de sus aristas, ésta distancia la reducimos sobre el eje OZ obteniendo la distancia O-h, que trasladaremos sobre las aristas laterales en proyección a partir de los vértices de la base. Uniendo los puntos así obtenidos completamos el trazado del hexaedro.

Si conocemos los coeficientes Cx, Cy y Cz pero no los ejes, podemos calcularlos estos a partir del Triángulo Órtico del triángulo de las trazas mediante el Teorema de Scholmi.

Según este teorema, el triángulo órtico del triángulo de las trazas tiene sus lados iguales o proporcionales al cuadrado de los coeficientes o escalas. Como las alturas del triángulo fundamental coinciden con los ejes axonométricos, estos serán las bisectrices del triángulo órtico.

Así pues, conociendo los coeficientes, dibujaremos el triángulo de lados iguales o proporcionales al cuadrado de estos y sus bisectrices obteniendo de este modo los ejes del sistema buscados. Para calcular el cuadrado de los coeficientes emplearemos la media proporcional. Recordemos además que un triángulo órtico es aquel que se obtiene uniendo los pies de las alturas de cualquier triángulo, en nuestro caso del fundamental, siendo además estas alturas bisectrices del triángulo órtico trazado.

La media proporcional entre dos segmentos, AB y CD en el ejemplo de la se calcula gráficamente tomando como diámetro de una semicircunferencia el segmento mayor AB, sobre este diámetro superponemos el otro segmento CD a partir de uno de sus extremos. Trazamos una perpendicular a AB por el extremo libre D hasta cortar a la circunferencia en E. El segmento EA es la media proporcional de AB y CD buscada. CD / EA = EA / AB. Figura 11.

Para calcular los cuadrados de los coeficientes, dibujamos una semicircunferencia de diámetro la unidad, y a partir de uno de sus extremos llevamos un coeficiente dado (Cx, por ejemplo) a dicha semicircunferencia, se proyecta sobre el diámetro ortogonal en PCx y observamos que esta proyección es el cuadrado del coeficiente dado ya que Cx es media proporcional entre la unidad tomada como diámetro y dicha proyección.: PCx / Cx = Cx / D, como D = 1 tenemos despejando que PCx*1 = Cx*Cx y por tantoPCx = Cx². Figura 12.

Dados los coeficientes, calcularemos en el ejercicio siguiente sus cuadrados (figura 13A), con ellos dibujaremos el triángulo órtico del que trazaremos sus bisectrices que son como sabemos, los ejes del sistema. El eje OX corresponde a la bisectriz del ángulo opuesto al cuadrado del coeficiente del eje OX, lo mismo sucede para los ejes OY y OZ. Figura 13B.

Aplicación práctica del Teorema de Scholmi:

Conocidos los coeficientes de reducción gráfica Cx = 0’76, Cy = 0’48 y Cz = 0’89.

• Dibujar los ejes y calcular gráficamente las reducciones. Figuras 13A y B.
• Dibujar un cubo de 20 mm de lado con uno de sus vértices coincidente con el origen de coordenadas y una de sus caras contenidas en XOY. Figura 14.

Calculamos los ejes del sistema por el teorema de Scholmi y los abatimos sobre el plano P paralelo al cuadro que ha generado el triángulo fundamental ABC.

Por tratarse de un cubo con uno de sus vértices en el origen de coordenadas y una de sus caras coincidente con uno de los planos de proyección secundarios, tendrá necesariamente dos caras más contenidas en los otros dos planos secundarios del sistema y el resto paralelas. Todas las aristas son por tanto axonométricas y de magnitud 20 mm. Calculamos pues las reducciones de 20 mm para cada uno de los ejes y representamos el cuerpo.