Operaciones con segmentos. Sección áurea

Operaciones con segmentos. Sección áurea

Proporcionalidad

Es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño. Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos. Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales (Fig.1). a/b=c/d. Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d. Proporcionalidad directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K. Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K

Teorema de Tales

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’

Aplicaciones del Teorema de Tales

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales (Fig.3).

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada (Fig.4).

Figura 1, proporcionalidad. Figura 2, Teorema de Tales. Figura 3, división de un segmento en partes iguales. Figura 4, división de un segmento en partes proporcionales.

Figura 1, proporcionalidad. Figura 2, Teorema de Tales. Figura 3, división de un segmento en partes iguales. Figura 4, división de un segmento en partes proporcionales.

Cuarta proporcional de un segmento

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional a un segmento d si éste cumple:

a/b=c/d

Se trata de buscar un segmento ‘d’ que mantenga esta proporcionalidad. Trazamos 2 rectas r y s concurrentes en O.  Trasladamos los segmentos a y b sobre r a partir de O y c sobre s a partir de O. Unimos el extremo de ‘a’ con el extremo de ‘c’ y trazamos una paralela a esta recta por el extremo de ‘b’ obteniendo el extremo del segmento ‘d’ buscado y cuarta proporcional, pues se cumple que c/d mantiene la proporción a/b según el Teorema de Tales visto (Fig. 5).

Aplicaciones de la cuarta proporcional

Producto de 2 segmentos: a·b=c

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que:

u/a=b/x; a/u=x/b; a·b=x·u; a·b=x

Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el producto de a y b (Fig. 6).

Cociente de dos segmentos: a/b=x

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que:

b/a=u/x; a/b=x/u; a/b=x

Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el cociente de a y b (Fig. 7).

Figura 5,  cuarta Proporcional. Figura 6, producto de 2 segmentos a y b. Figura 7, cociente de 2 segmentos a y b.

Figura 5, cuarta Proporcional. Figura 6, producto de 2 segmentos a y b. Figura 7, cociente de 2 segmentos a y b.

Tercera proporcional de 2 segmentos

Dados 2 segmentos a y b, es c tercera proporcional si se cumple que:

a/b=b/c

Trazamos 2 semirrectas r y s con origen común llevando a y b a una de ellas desde el punto de intersección y b a la otra. Trazamos una paralela por el extremo b de la primera semirrecta a la unión de los otros dos extremos (Fig. 8).

Aplicaciones de la tercera proporcional

Cuadrado de un segmento: b2=x

(Fig. 9) Dado b, tomamos como ‘a’ en la construcción un segmento de una unidad ‘u’ y se obserba que:

u/b=b/x; b/u=x/b; b·b=x·u; b·b=x; x=b2

Figura 8, Tercera Proporcional. Figura 9, cuadrado de un segmento b dado.

Figura 8, Tercera Proporcional. Figura 9, cuadrado de un segmento b dado.

Media Proporcional ‘c’ de a y b

Dados los segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c, si cumple:

a/c=c/b

También se observa que:

a·b=c2; c=√a·b

Podemos obtener la media proporcional mediante 2 procedimientos:

1. Teorema de la altura

Situamos los 2 segmentos dados uno a continuación del otro. Se traza una semicircunferencia de centro en M, punto medio de la suma de a y b (Fig. 10).

Por el punto de contacto de los segmentos trazamos una perpendicular a estos que corta a la circunferencia y obtenemos la media proporcional buscada c.

2. Teorema del cateto

Dados los segmentos AB y AC (Fig. 11), los superponemos, trazamos el arco capaz de AC y le trazamos una perpendicular por B hasta cortar a la semicircunferencia. Desde la intersección obtenida unimos con A y obtenemos el segmento ‘x’, la media proporcional buscada.

Aplicaciones de la media proporcional

Raíz cuadrada de un segmento ‘a’

Tomamos un segmento de una unidad de longitud ‘u’ y lo ponemos a continuación del segmento dado ‘a’ y obtenemos x como hemos expuesto en el teorema de la altura.

√a=x; a=x2; a=x·x: a/x=x/u

Media Proporcional

Figura 10, mediante el Teorema de la altura obtenemos c, media proporcional de a y b. Figura 11, mediante el Teorema del cateto obtenemos x, media proporcional de AB y BC dados. Figura 12, el segmento x es raíz cuadrada de a y media proporcional de a y u (la unidad).

Sección áurea

La sección áurea de un segmento AB dado es otro segmento AF, fruto de su división, de tal manera que la relación entre el segmento mayor dado (AB) y el mediano resultante de la división (AF),  sea la misma que la relación entre el mediano (AF) el pequeño resultante (FB). (El pequeño es al mediano lo mismo que el mediano al mayor).

AB/AF=AF/FB; FB/AF=AF/AB

El segmento mediano (AF) es por tanto es media proporcional entre el grande (AB) y el pequeño (FB).

Cuando se da esta situación, la razón de proporcionalidad es siempre constante e igual a µ, siendo µ el número áureo y de valor 1,618. La división del segmento dado que hace posible esta relación se denomina Sección Áurea.

µ=AF/FB= 1,618

A lo largo del tiempo, los artistas, en la búsqueda de composiciones perfectas, han dado con esta proporción basada en la Sección Áurea, muy extendida en la naturaleza, que permite dividir el espacio en partes proporcionales y lograr un efecto estético agradable. Hay numerosos recursos en Internet que abundan sobre este asunto.

Cálculo de la sección áurea de un segmento AB

Dado el segmento AB, le trazamos una perpendicular en el extremo y trazamos un arco de radio BM hasta cortar en C a la perpendicular (M es punto medio de AB). Unimos C con A y trazamos un arco de radio CB hasta cortarlo en E. Haciendo centro en A trazamos el arco AE hasta cortar a AB en F. AF es sección áurea de AB (Fig. 12).

Dado el segmento AB, buscar un segmento AF de modo que AB dado sea su división áurea.

Se dibuja y prolonga AB. Le trazamos una perpendicular por su extremo B. Obtenemos su punto medio M. Trazamos desde B un arco de radio BM hasta cortar la perpendicular en D. Unimos A con D y prolongamos. Trazamos un arco de radio DB hasta cortar a la prolongación en E. Con centro en A y radio AE trazamos un arco que corta a la prolongación de AB en F. AF es el segmento buscado –el extremo o mayor–, AB la sección Áurea y FB el segmento menor. (Fig. 13).

Sección áurea

Figura 12, sección áurea de AB. Figura 13, AB dado es sección áurea de AF. Figura 14, rectángulo áureo.

Rectángulo áureo

Es aquel que tiene la relación áurea (1.618) de cociente entre su lado mayor y menor.

Para construir un rectángulo áureo de base AB dada, procedemos como en el ejercicio de la figura 12, tomando como altura el segmento AF obtenido (Fig. 14).

Proporción áurea en el pentágono regular

La sección áurea se encuentra en infinidad de lugares en la naturaleza, y en algunas figuras geométricas. En el ejemplo se aprecia que la diagonal de un pentágono y su lado mantienen dicha proporción, así como ente la altura total y la de uno de sus vértices (Fig. 15).

En el polígono estrellado, la proporción Áurea se da entre los segmentos de la ilustración (AC extremo, AB Sección Áurea, CB menor) (Fig. 16).

Figuras 15 y 16. Relaciones áureas en el pentágono regular y estrellado.

Figuras 15 y 16. Relaciones áureas en el pentágono regular y estrellado.

 

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